Enunciado

Lembre que uma função f é par se f - x = f ( x ) e ímpar se f - x = - f ( x ) para todo x no domínio de f . Supondo que f seja diferenciável, prove que:

  1. f ' será ímpar de f for par.
  2. f ' será par se f for ímpar.

Passo 1

Pra comprovarmos essas afirmativas que o exercício traz, vamos trabalhar com a regra da cadeia.

Já sabemos de exercícios anteriores que a derivação com o uso da regra da cadeia é como o descascar de uma cebola: vamos adentrando as camadas.

A derivação de uma função composta é assim, vamos adentrando a função, como camadas de uma cebola, derivando de fora pra dentro, multiplicando as derivadas de cada “camada” da função.

Então, por exemplo, se temos uma y = f ( g x ) , sua derivada vai valer:

y ' = f ' ( g x ) ∙ g ' ( x )

Ou se tivéssemos z = f ( g h x ) , teríamos pra derivada o seguinte:

z ' = f ' ( g h x ) ∙ g ' ( h x ) ∙ h ' ( x )

Passo 2

Relembrada a regra pra derivação de funções compostas, podemos trabalhar em cima das expressões f - x = f ( x ) e f - x = - f ( x ) , que designam funções pares e ímpares, respectivamente.

Começando pela primeira expressão, vamos derivá-la, pela regra da cadeia e ver no que resultamos:

d f - x d x = d f ( x ) d x

f ' - x ∙ - 1 = f ' ( x )

- f ' - x = f ' ( x )

∴ f ' - x = - f ' ( x )

Sendo que f ' ( x ) também é uma função qualquer, repara que chegamos à expressão que designa a função ímpar que o enunciado deu! Fica comprovada a afirmativa (a)!

Passo 3

Agora é só fazer o mesmo pra comprovar (b). Trabalhando em cima de f - x = - f ( x ) , derivamos e vamos ter:

d f - x d x = d - f ( x ) d x

f ' - x ∙ - 1 = - f ' ( x )

- f ' - x = - f ' ( x )

∴ f ' - x = f ' ( x )

Com as mesmas considerações do último Passo, repara que chegamos à expressão que designa uma função par! Mais uma alternativa comprovada!

Resposta

Vide Passos 2 e 3.

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Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que f e g sejam funções, tais que f ' x = 1 x e f ∘ g x = x . Prove que se g ' ( x ) existir, então g ' x = g ( x ) .
Use o resultado do Exercício 52 (a) para provar que se g for uma função par e g ' ( x ) existir, então se h x = ( f ∘ g ) ( x ) e se f for derivável em toda parte, h ' 0 = 0 .
Mostre que a prova simplificada da regra da cadeia com a exigência adicional (ii) (exercício 54) não é válida para as funções f e g dadas. Em cada exercício, faça um esboço do gráfico de g . f x = x 2
Mostre que a prova simplificada da regra da cadeia com a exigência adicional (ii) (exercício 54) não é válida para as funções f e g dadas. Em cada exercício, faça um esboço do gráfico de g . f x = x 2
Mostre que a prova simplificada da regra da cadeia com a exigência adicional (ii) (exercício 54) não é válida para as funções f e g dadas. Em cada exercício, faça um esboço do gráfico de g . f x = x 4