Enunciado

Encontre a antiderivada mais geral da função. (Verifique sua resposta por diferenciação.)

g v = 2 cos ⁡ v - 3 1 - v 2

Passo 1

Vamos lá, sabemos que uma função G é chamada de antiderivada de g em um intervalo I se:

G ' v = g v

para todo v em I .

E se G é uma antiderivada de g nesse intervalo, então a antiderivada mais geral de g em I é:

G x + C

onde C é uma constante qualquer.

Pronto, então para achar a antiderivada, temos que achar uma função que derivando g nós encontramos G .

No nosso caso, queremos encontrar a antiderivada mais geral da seguinte função:

g v = 2 cos ⁡ v - 3 1 - v 2

Vamos lá!! 😉

Passo 2

Vamos então agora calcular, para achar a antiderivada G da função g , temos que a antiderivada das funções cos ⁡ v , de c g v e de 1   1 - v 2 são, respectivamente, da forma:

sen ⁡ v

c G v

arcsen ⁡ v

Agora é só aplicar:

G v = 2 sen ⁡ v - 3 arcsen ⁡ v + C

Passo 3

Vamos agora checar, para isso temos que derivar G v :

G ' v = 2 cos ⁡ v - 3 ⋅ 1 1 - v 2 + 0 ∴

G ' v = 2 cos ⁡ v - 3 1 - v 2

Pronto, tá tudo certo!

Resposta

G v = 2 sen ⁡ v - 3 arcsen ⁡ v + C

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