Enunciado

  1. Estime a área sob o gráfico de f x = 1 x de x = 1 a x = 2 usando quatro retângulos aproximados e pontos finais direitos. Esboce o gráfico e os retângulos. Sua estimativa é subestimada ou superestimada?
  2. Repita a parte (a) usando os pontos finais esquerdos.

Passo 1

  1. Vamos lá, vamos encontrar uma estimativa usando pontos finais direitos, como vamos usar 4 retângulos temos que n = 4 , assim:
  2. R 4 = ∑ i = 1 4 f x i ∆ x

    Temos que:

    ∆ x = b - a n

    Aqui nós sabemos que a e b são os limites de integração, assim:

    ∆ x = b - a n = 2 - 1 4 = 1 4

    Vamos calcular o somatório:

    R 4 = ∑ i = 1 4 f x i ∆ x = f x 1 + f x 2 + f x 3 + f x 4 ⋅ 1 4 =

    = 1 5 4 + 1 6 4 + 1 7 4 + 1 8 4 ⋅ 1 4 = 4 5 + 2 3 + 4 7 + 1 2 ⋅ 1 4 = 0,6345

    Aqui temos o esboço dos retângulos:

    Como f é decrescente em 1,2 , temos uma estimativa subestimada usando a aproximação e pontos finais direitos.

    Passo 2

  3. Vamos lá, vamos encontrar uma estimativa usando pontos finais esquerdos, como vamos usar 4 retângulos temos que n = 4 , assim:

L 4 = ∑ i = 1 4 f x i - 1 ∆ x

Temos que:

∆ x = b - a n

Aqui nós sabemos que a e b são os limites de integração, assim:

∆ x = b - a n = 2 - 1 4 = 1 4

Vamos calcular o somatório:

L 4 = ∑ i = 1 4 f x i - 1 ∆ x = f x 0 + f x 1 + f x 2 + f x 3 ⋅ 1 4 =

= 1 1 + 1 5 4 + 1 6 4 + 1 7 4 ⋅ 1 4 = 1 + 4 5 + 2 3 + 4 7 ⋅ 1 4 = 0,7595

Aqui temos o esboço dos retângulos:

Como f é decrescente em 1,2 , temos uma estimativa superestimada usando a aproximação e pontos finais esquerdos.

Resposta

  1. R 4 = 0,6345
  2. L 4 = 0,7595
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