Enunciado

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  1. Encontre uma aproximação para a integral ∫ 0 4 x 2 - 3 x d x   usando uma soma de Riemann com as extremidades direitas e n = 8 .

(b) Faça um diagrama como a Figura 3 para ilustrar a aproximação da parte (a).

(c) Use o Teorema 4 para calcular ∫ 0 4 x 2 - 3 x d x .

(d) Interprete a integral da parte (c) como uma diferença de áreas e ilustre com diagramas como o da Figura 4.

Passo 1

  1. Temos um delta
  2. ∆ x = 4 - 0 8 = 0.5

    E x i * = 0.5 i , logo:

    ∫ 0 4 x 2 - 3 x d x = ∑ i = 1 8 f x i * ∆ x =

    0.5 0.5 2 - 3 0.5 + 1 2 - 3 1 + … + 3.5 2 + 3 3.5 + 4 2 + 3 4 =

    1 2 - 5 4 - 2 - 9 4 - 2 - 5 4 + 0 + 7 4 + 4 = - 1.5

    Passo 2

  3. Diagrama:
  4. Passo 3

  5. Calculando:

∫ 0 4 x 2 - 3 x d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 4 i n 2 - 3 4 i n 4 n =

lim n → ∞ ⁡ 4 n [ 16 n 2 ∑ i = 1 n i 2 - 12 n ∑ i = 1 n i ] =

lim n → ∞ ⁡ 64 n 3 n n + 1 2 n + 1 6 - 48 n 2 n n + 1 2 =      

lim n → ∞ ⁡ 32 3 1 + 1 n 2 + 1 n - 24 1 + 1 n = 32 3 2 - 24 = - 8 3      

Passo 2

∫ 0 4 x 2 - 3 x d x = A 1 - A 2 , onde A 1 é a área positiva, e A 2 , a negativa:

Resposta

  1. - 1.5
  2. Gráfico
  3. - 8 3
  4. ∫ 0 4 x 2 - 3 x d x = A 1 - A 2 , onde A 1 é a área positiva, e A 2 , a negativa. Gráfico.

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