Enunciado

Encontre a área exata da superfícies obtida pela rotação da curva dada ao redor do eixo x.

59. x = t 3 ,       y = t 2 ,         0 ≤ t ≤ 1

Passo 1

Precisamos encontrar a área da superfície obtida pela rotação da curva dada ao redor do eixo x.

Sabemos que a área de uma superfície é S = ∫ a b 2 π y   d s

Sendo que d s =   d x d t 2 + d y d t 2

Então temos

S =   ∫ 0 1 2 π t 2 9 t 4 + 4 t 2   d t  

= 2 π ∫ 0 1 t 2 t 2 ( 9 t 2 + 4 )   d t  

Vamos usar uma substituição com u = 9 t 2 + 4 ,       d u = 18   t d t

= 2 π ∫ 4 13 u - 4 9 u d u 18  

= 2 π 9.18 ∫ 4 13 u 3 2 - 4 u 1 2     d u

π 81 2 5 u 5 2 - 8 3 u 3 2 4 13 = 2 π 1215 3.13 2 13 - 20.13 13 - 3.32 - 20.8 =

2 π 1215 ( 247 13   + 64 )

Resposta

59. S = 2 π 1215 ( 247 13   + 64 )

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