Enunciado

O comprimento é independente da parametrização Para ilustrar o fato de que os números que obtemos para comprimento não dependem da forma que parametrizamos nossas curvas (exceto pelas leves restrições que previnem a volta mencionada anteriormente), calcule o comprimento do semicírculo y = 1 - x 2 com essas duas parametrizações diferentes:

a. x = c o s 2 t ,   y = s e n   2 t ,   0 ≤ t ≤ π / 2

b. x = c o s   π t , y = s e n   π t , - 1 / 2 ≤ t ≤ 1 / 2

Passo 1

Fala, galera! Nessa questão temos que calcular o comprimento da curva usando as duas parametrizações dadas. Para isso, vamos usar a fórmula

L = ∫ d x d t 2 + d y d t 2 d t

Então, calculamos as derivadas, depois a raíz, depois a integral. Vamos lá? Vem comigo!

Passo 2

a. As derivadas são

d x d t = d d t c o s   2 t =   - 2   s e n   2 t  

d y d t = d d t s e n   2 t = 2   c o s   2 t  

Assim, temos

d x d t 2 + d y d t 2 = 4 s e n 2 2 t + 4 c o s 2 2 t = 4 = 2

e

L = ∫ 0 π / 2 2 d t = 2 t | 0 π / 2 = 2 π 2 = π

Passo 3

b. Agora vamos fazer a mesma coisa para a outra parametrização:

d x d t = d d t c o s   π t =   - π   s e n   π t  

d y d t = d d t s e n   π t = π   c o s   π t  

Assim, temos

d x d t 2 + d y d t 2 = π 2 s e n 2 π t + π 2 c o s 2   π t = π 2 = π

e

L = ∫ - 1 / 2 1 / 2 π   d t = π t | - 1 / 2 1 / 2 = π 1 2 - - 1 2 = π

Olha só que legal, o resultado dos dois itens deu exatamente o mesmo, como o enunciado falou. Ou seja, o comprimento da curva não depende da parametrização. Curtiu? Responde Aí!

Resposta

a. π

b. π

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce a área da região que está dentro de ambas as curvas. r 2 = 2s e n2 θ ,r = 1
Esboce a área da região que está dentro de ambas as curvas. r = s e nθ ,r = cos ⁡ θ
Esboce a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva. r = 2 + s e nθ ,r = 3s e nθ
Esboce a área da região que está dentro de ambas as curvas. r = s e n2 θ ,r = s e nθ
Encontre a área da região que é limitada pelas curvas dadas que está no setor especificado. r = θ ,0 ≤ θ ≤ π 4