Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.6 - Ex. 61
Encontre a área da parte da esfera que está dentro do paraboloide .
Passo 1
Vamos começar dando uma ajeitada nessa equação da esfera!
Aí se liga no bizu, vamos somar dos dois lados!
E isso é a mesma coisa que
Passo 2
Galera, vamos escrever a integral dupla que representa a área da superfície:
Passo 3
Vamos achar quem são essas derivadas parciais, começar escrevendo a nossa equação com sozinho
Ai a gente vai usar uma regrinha da cadeia e vamos ficar com
Então temos que
E pra é basicamente a mesma cois hehe, só que em relação a Nosso resultado final fica
Passo 4
Shooow agora a gente pode mandar isso pra nossa integral
Se ajeitarmos essa integral feiosa, ficamos com
E vamos passar tudo para coordenadas polares:
Passo 5
Show, mas ainda precisamos achar nossos limites de integração
O de é tranquilinho, como o enunciado não da nenhuma restrição ele da a volta completa no eixo , então nós temos que
Já o de a gente vai precisar de um jeitinho especial para achar.
Para achar os limites a gente vai ter que igualar nossas duas funções, temos que
e que
então podemos dizer que
Então chegamos que
ou
Só que quem é mesmo?
Que nas nossas coordenadas polares é a mesma coisa que
Então uhul achamos nossos limites
Passo 6
Agora vamos resolvê-la:
Vamos fazer uma substituição simples e chamar
Então ficamos com
Resposta
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