Enunciado

Encontre a área da parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 z que está dentro do paraboloide z = x 2 + y 2 .

Passo 1

Vamos começar dando uma ajeitada nessa equação da esfera!

x 2 + y 2 + z 2 - 4 z = 0

Aí se liga no bizu, vamos somar + 4 dos dois lados!

x 2 + y 2 + z 2 - 4 z + 4 = 4

E isso é a mesma coisa que

x 2 + y 2 + z - 2 2 = 4

Passo 2

Galera, vamos escrever a integral dupla que representa a área da superfície:

A S = ∫ ∫ D   1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2   d A

Passo 3

Vamos achar quem são essas derivadas parciais, começar escrevendo a nossa equação com z   sozinho

z - 2 = 4 - x 2 - y 2

z = 2 + 4 - x 2 - y 2

∂ 2 + 4 - x 2 - y 2 ∂ x

Ai a gente vai usar uma regrinha da cadeia e vamos ficar com

- 1 2 4 - x 2 - y 2 * 2 x

Então temos que

∂ z ∂ x = - x 4 - x 2 - y 2

E pra ∂ z ∂ y   é basicamente a mesma cois hehe, só que em relação a y . Nosso resultado final fica

∂ z ∂ x = - y 4 - x 2 - y 2

Passo 4

Shooow agora a gente pode mandar isso pra nossa integral

A ( s ) = ∫ ∫ D   1 + - x 4 - x 2 - y 2 2 + - y 4 - x 2 - y 2 2   d A

Se ajeitarmos essa integral feiosa, ficamos com

A ( s ) = ∫ ∫ D   1 + x 2 + y 2 4 - ( x 2 + y 2 )   d A

E vamos passar tudo para coordenadas polares:

x 2 + y 2 = r 2

J = r

∫ ∫ 1 + r 2 4 - r 2   r   d r   d θ

Passo 5

Show, mas ainda precisamos achar nossos limites de integração

O de θ é tranquilinho, como o enunciado não da nenhuma restrição ele da a volta completa no eixo z , então nós temos que

0 ≤ θ ≤ 2 π

Já o de r a gente vai precisar de um jeitinho especial para achar.

Para achar os limites a gente vai ter que igualar nossas duas funções, temos que

x 2 + y 2 + z 2 = 4 z   e que z = x 2 + y 2

então podemos dizer que

z + z 2 = 4 z

z 2 - 3 z = 0

z z - 3 = 0

Então chegamos que

z = 0 ou z = 3

Só que quem é z mesmo?

z = x 2 + y 2

Que nas nossas coordenadas polares é a mesma coisa que

z = r 2

Então uhul achamos nossos limites

0 ≤ r ≤ 3

Passo 6

Agora vamos resolvê-la:

∫ 0 2 π ∫ 0 3 1 + r 2 4 - r 2   r   d r   d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 3 2 r 4 - r 2   d r   d θ

Vamos fazer uma substituição simples e chamar

u = 4 - r 2

d u = 2 r   d r

Então ficamos com

∫ 0 2 π - 2 4 - r 2 1 2 0 3 d θ

∫ 0 2 π - 2 + 4   d θ = 2 θ 0 2 π = 4 π

Resposta

A S = 4 π

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