Enunciado

(a) Use a Regra do Ponto Médio para integrais duplas (veja a Seção 15.1 ) com seis quadrados para estimar a área da superfície z = 1 1 + x 2 + y 2   ,   0 ≤ x ≤ 6   ,   0 ≤ y ≤ 4 .

(b) Use um sistema de computação algébrica para aproximar a área de superfície da parte (a) até a quarta casa decimal. Compare com sua resposta para a parte (a).

Passo 1

(a) Pessoal, primeiro vamos expressar a área da superfície como uma integral:

A S = ∫ ∫ D   1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2   d A = ∫ 0 6 ∫ 0 4 1 + 4 x 2 + 4 y 2 1 + x 2 + y 2 4   d y   d x

Se usarmos a regra do Ponto Médio, com f x ,   y = 1 + 4 x 2 + 4 y 2 1 + x 2 + y 2 4 , teremos:

A S ≈ 4 f 1 ,   1 + f 1 ,   3 + f 3 ,   1 + f 3 ,   3 + f 5 ,   1 + f 5 ,   3 ≈ 24,2055

Passo 2

(b) Agora, se usarmos um sistema de computação algébrica para aproximar a mesma integral, obteremos:

A S ≈ 24,2476

Repare que a Regra do Ponto Médio nos deu uma aproximação bastante coerente da área da superfície, mas para uma maior precisão, deveria se usar mais quadrados.

Resposta

(a) A S ≈ 24,2 055

(b) A S ≈ 24,2476

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Calcule a integral de superfície. ∫ ∫ Sx yd S S é a região triangular com vértices 1 ,0 ,0,0 ,2 ,0 e 0 ,0 ,2 .