Enunciado

Os pontos de intersecção da cardioide

r = 1 + s e n ⁡ θ

E do laço espiral

r = 2 θ

- π 2 ≤ θ ≤ π 2

Não podem ser encontrados exatamente. Use uma ferramenta gráfica para encontrar os valores aproximados de θ nos quais eles se interceptal. Então, use esses valores para estimar a área que está dentro de ambas as curvas.

Passo 1

A área de uma curva em coordenadas polares é dada por

A = ∫ a b 1 2 r 2 d θ

Plotando as duas curvas com a ajuda de uma ferramenta gráfica, temos

Com isso, vemos que as curvas se intersectam em dois pontos, que foram esses que eu marquei de azul aí.

Um deles é a origem, ou seja, r , θ = ( 0,0 ) .

O outro a gente consegue descobrir dando um zoom na ferramenta.

Com isso, vemos que temos o ângulo

θ ≈ 0,8876

θ ≈ 0,89

Show de bola, encontramos nossos valores de θ de interseção das curvas.

Passo 2

Agora vamos ao cálculo da área.

Mas, para isso, vamos antes entender que área que vamos calcular.

Queremos a área entre as duas curvas, portanto, queremos essa área pontilhada ai:

Mas, se você reparar, nossa figura é simétrica, então dá pra dividir essa área em dois e calcular só metade dela e depois multiplicar por dois, certo?

Passo 3

Ok, agora vamos pensar o intervalo de integração e ao valores de r .

Podemos dizer que nossa região de interesse, que é a região pontilhada (vamos considerar só a parte que tá no primeiro quadrante, tá bem? Já que depois a gente vai multiplicar por 2 mesmo...)

Isso vai facilitar o nosso intervalo de integração, porque estaremos no primeiro quadrante, e consequentemente, vai tornar a integral menos pior.

Podemos dizer que nossa região é formada pela curva

r = 2 θ

De

θ = 0

Até

θ ≈ 0,89

E pela curva

r = 1 + sen ⁡ θ

De

θ ≈ 0,89

Até

θ = π 2

Concorda?

Show, então esses são nossos r ' s e nossos intervalos de integração.

Passo 4

As integrais ficam:

A = ∫ 0 0,89 1 2 2 θ 2 d θ + ∫ 0,89 π 2 1 2 1 + sen ⁡ θ 2 d θ

A = 1 2 ∫ 0 0,89 4 θ 2 d θ + 1 2 ∫ 0,89 π 2 1 + 2 sen ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ d θ

A = 2 ∫ 0 0,89 θ 2 d θ + 1 2 ∫ 0,89 π 2 1 + 2 sen ⁡ θ + 1 2 ( 1 - cos ⁡ 2 θ ) d θ

A = 2 ∫ 0 0,89 θ 2 d θ + 1 2 ∫ 0,89 π 2 3 2 + 2 sen ⁡ θ - 1 2 cos ⁡ 2 θ d θ

A = 2 θ 3 3 0,89 0 + 1 2 3 2 θ - 2 cos ⁡ θ - 1 4 sen ⁡ 2 θ π 2 0,89

A = 2 0,89 3 3 + 1 2 3 π 4 + 2 cos ⁡ π 2 - 1 4 sen ⁡ π - 3 2 ∙ 0,89 - 2 cos ⁡ 0,89 - 1 4 sen ⁡ 2 . 0,89

A = 2 0,89 3 3 + 1 2 3 4 ∙ 3,14 - 3 2 ∙ 0,89 - 2 cos ⁡ 0,89 - 1 4 sen ⁡ 1,78

A = 2 0,235 + 1 2 2,355 - 1,335 - 1,259 - 0,245

A = 1,732

Assim, a área total é

A t = 2 × A = 3,464

Resposta

A t = 3,464

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