Enunciado

Encontre a área da região que está dentro de ambas as curvas

r = 3 + 2 cos ⁡ θ

r = 3 + 2 sen ⁡ θ

Passo 1

Vamos plotar as curvas para termos ideia da área que a gente tá calculando.

Portanto, queremos a área dessa região sombreada.

A área de uma curva em coordenadas polares é dada por

A = ∫ a b 1 2 r 2 d θ

Então temos que identificar cada termo dessa integral aí, substituir e calcular.

Passo 2

O intervalo de integração seria o intervalo em que a curva está definida.

Para encontrar esse intervalo, no caso dessa questão, vamos precisar encontrar os pontos de interseção das duas curvas, já que queremos a área dentro de ambas as curvas.

Para isso, basta igualarmos as duas curvas:

r = 3 + 2 cos ⁡ θ = 3 + 2 sen ⁡ θ

sen ⁡ θ cos ⁡ θ = tan ⁡ θ = 1

θ = π 4

Então vamos pensar.

Se a gente imaginar uma reta θ = π 4 bem no ponto de interseção entre as duas curvas, é como se nossa região pontilhada fosse a curva vermelha, que é a curva r = 3 + 2 sen ⁡ θ de θ = 0 até θ = π 4 e depois passasse a ser a curva vermelha, r = 3 + 2 cos ⁡ θ , de θ = π 4 até θ = 5 π 4 .

Vê se você consegue visualizar isso:

Daí, com isso, estamos dividindo nossa área em duas partes e só vamos calcular metade dela. Depois é só multiplicar por 2 , já que a figura é simétrica, beleza?

Passo 3

Continuando, falta a gente descobrir quem é o r .

O r é a própria parametrização.

Mas agora a gente precisa ficar esperto. Como dividimos nossa curva em 2 partes e só vamos calcular a integral de θ = π 4 até θ = 5 π 4 , temos que nos atentar, como a gente tinha conversado ali em cima, que nesse intervalo a nossa região de interesse é definida apenas pela curva vermelha, que é a curva

r = 3 + 2 cos ⁡ θ

Assim, esse é o nosso r .

Então agora é só substituir e integrar esse negocio.

Passo 4

Vamos lá:

A 1 = 1 2 ∫ π 4 5 π 4 3 + 2 cos ⁡ θ 2 d θ

A 1 = 1 2 ∫ π 4 5 π 4 9 + 12 cos ⁡ θ + 4 cos 2 ⁡ θ d θ

A 1 = 1 2 ∫ π 4 5 π 4 9 + 12 cos ⁡ θ + 4 ∙ 1 2 1 + cos ⁡ 2 θ d θ

A 1 = 1 2 ∫ π 4 5 π 4 9 + 12 cos ⁡ θ + 2 1 + cos ⁡ 2 θ d θ

A 1 = 1 2 ∫ π 4 5 π 4 11 + 12 cos ⁡ θ + 2 cos ⁡ 2 θ d θ

A 1 = 1 2 11 θ + 12 sen ⁡ θ + 2 2 sen ⁡ 2 θ 5 π 4 π 4

A 1 = 1 2 55 π 4 + 12 sen ⁡ 5 π 4 + sen ⁡ 5 π 2 - π 4 + 12 sen ⁡ π 4 - sen ⁡ π 2

A 1 = 1 2 55 π 4 + 12 - 2 2 + 1 - π 4 + 12 2 2 - 1

A 1 = 1 2 54 π 4 - 12 2 + 2

Assim, a área total da nossa região é

A T = 2 × A 1 = 54 π 4 - 12 2 + 2

Resposta

A = 54 π 4 - 12 2 + 2 = 27 π 2 - 12 2 + 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a área da região sombreada:
Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva.23. r = 4 s e n θ , r = 2
Escreva graficamente a curva e encontre a área que ela encerra.13. r = 2 + s e n 4 θ
Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva.24. r = 1 - s e n θ , r = 1
Encontre a área da região que está dentro das duas curvas:29. r = 3 s e n θ , r = 3 c o s θ