Enunciado

Encontre a área da região que está dentro das duas curvas:

29. r = 3 s e n θ , r = 3 c o s θ

Passo 1

A região de interseção se encontra entre as duas curvas na imagem abaixo:

Como ela está contida em todo o primeiro quadrante, vamos integrar no intervalo 0 ≤ θ ≤ π 2 . Pela equação da área:

A = ∫ a b 1 2 r 2 d θ

Ficamos com:

A = ∫ 0 π 2 1 2 ( 3 s e n θ ) 2 d θ

Utilizamos somente a equação da curva vermelha, pois ao varrermos do semieixo positivo de x até o semieixo positivo de y, passamos sobre a curva vermelha primeiro, como as duas funções não estão distantes em relação ao centro, a distância é apenas em termos do ângulo θ , não precisamos considerar a segunda curva.

Passo 2

Vamos primeiro resolver a integral indefinida, para no final substituir os limites:

∫ 1 2 ( 3 s e n θ ) 2 d θ

Resolvendo o polinômio:

∫ 9 2 s e n 2 θ d θ

Usando a identidade trigonométrica:

s e n 2 θ = 1 - c o s 2 θ 2

Ficamos com:

∫ 9 4 1 - c o s 2 θ d θ

Integrando:

9 θ 4 - 9 8 s e n 2 θ + c

Passo 3

Substituindo os limites de integração:

A = 9 π 2 4 - 9 8 s e n 2 π 2 - 9 ( 0 ) 4 - 9 8 s e n ( 2 * 0 )

A = 9 π 8

Resposta

A = 9 π 8

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Esboce a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva. r = 1 + cos ⁡ θ ,r = 3 cos ⁡ θ
Esboce a área da região que está dentro de ambas as curvas. r 2 = 2s e n2 θ ,r = 1
Esboce a área da região que está dentro de ambas as curvas. r = s e nθ ,r = cos ⁡ θ
Esboce a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva. r = 2 + s e nθ ,r = 3s e nθ
Esboce a área da região que está dentro de ambas as curvas. r = s e n2 θ ,r = s e nθ