Enunciado

Escreva graficamente a curva e encontre a área que ela encerra.

13. r = 2 + s e n 4 θ

Passo 1

O gráfico da curva é:

Como a curva está nos quatro quadrantes, o intervalo do ângulo será 0 ≤ θ ≤ 2 π , onde os extremos serão os limites da integral da área:

A = ∫ a b 1 2 r 2 d θ

Ficando com:

A = ∫ 0 2 π 1 2 2 + s e n 4 θ 2 d θ

Passo 2

Vamos primeiro resolver a integral indefinida e substituir os limites ao final:

∫ 1 2 2 + s e n 4 θ 2 d θ

Abrindo o polinômio:

∫ 1 2 4 + 4 s e n 4 θ + s e n 2 4 θ d θ

Pela linearidade da integral:

∫ 4 2 d θ + ∫ 4 2 s e n 4 θ d θ + ∫ 1 2 s e n 2 4 θ d θ

Usando a identidade trigonométrica:

s e n 2 θ = 1 - c o s 2 θ 2

Teremos:

∫ 4 2 d θ + ∫ 4 2 s e n 4 θ d θ + ∫ 1 4 1 - c o s 8 θ d θ

Integrando cada termo:

2 θ - 1 2 c o s 4 θ + θ 4 - s e n 8 θ 32 + c

Tirando MMC:

72 θ - 16 c o s 4 θ - s e n 8 θ 32 + c

Passo 3

E por último, substituindo os limites:

A = 72 ( 2 π ) - 16 c o s ⁡ ( 8 π ) - s e n ( 16 π ) 32 - 72 0 - 16 cos ⁡ 0 - s e n 0 32 = 144 π 32

A = 9 π 2

Resposta

A = 9 π 2

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