Enunciado

Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva.

23. r = 4 s e n θ , r = 2

Passo 1

Olá, meu querido amigo. Pronto para resolver essa atividade comigo?

A gente quer calcular a área da região entre essas curvas:

r = 4 s e n θ

r = 2

Primeiro de tudo, é interessante a gente visualizar essas curvas no mesmo gráfico. Ajuda a criar a estratégia de resolução.

Vamos utilizar do GeoGebra para traçar esse gráfico.

A região será:

No interior da curva azul ( r = 4 s e n θ ) e no exterior da curva vermelha ( r = 2 ) , ou seja, não vamos pegar a região onde é a interseção das duas curvas (pois está dentro a vermelha). Estaremos preocupados em calcular a área da região rosa.

Como estamos em coordenadas polares, vamos trabalhar com a fórmula de área para coordenadas polares.

A = ∫ a b 1 2 f θ 2 - g θ 2 d θ

E por que da subtração? Pois aqui a gente vai calcular a área da circunferência em azul, e subtrair essa região da circunferência vermelha. Mas veja, que antes disso, deveremos trabalhar para encontrar os limites de integral.

Para isso, iremos igualar as equações e encontrar os valores de θ em que elas se encontram.

Passo 2

Precisamos igualar as duas funções para encontrarmos onde elas se interseccionam, o intervalo entre esses dois pontos será a região que integraremos, ou seja, esses pontos serão os limites. Igualando as funções:

2 = 4 s e n θ

s e n θ = 1 2

θ = π 6     ;   θ = 5 π 6  

Então nossa figura se encontra nesses dois pontos.

Substituindo cada função na equação da área:

A = ∫ π 6 5 π 6 1 2 16 s e n 2 θ - 4 d θ

Passo 3

Vamos agora resolver primeiro a integral indefinida para depois substituirmos os limites:

∫ 1 2 16 s e n 2 θ - 4 d θ

Utilizando a seguinte identidade trigonométrica:

s e n 2 θ = 1 - c o s 2 θ 2

Ficamos com:

∫ 1 2 8 ( 1 - c o s 2 θ ) - 4 d θ

= ∫ 1 2 8 - 8 c o s 2 θ - 4 d θ

= ∫ 1 2 4 - 8 c o s 2 θ d θ

Integrando cada termo:

2 θ - 2 s e n 2 θ + c

Passo 4

Substituindo os limites:

A = 2 θ - 2 s e n 2 θ π / 6 5 π / 6

A = 2 5 π 6 - 2 s e n 2 5 π 6 - 2 π 6 + 2 s e n 2 π 6

A = 4 π 3 + 2 3

Resposta

A = 4 π 3 + 2 3

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