Enunciado

Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva.

23. r = 4 s e n θ , r = 2

Passo 1

A região será:

No interior da curva azul e no exterior da curva vermelha, ou seja, não vamos pegar a região onde é a interseção das duas curvas (pois está dentro a vermelha). Para encontrarmos os limites de interseção para a equação da área:

A = ∫ a b 1 2 f θ 2 - g θ 2 d θ

Precisamos igualar as duas funções para encontrarmos onde elas se interseccionam, o intervalo entre esses dois pontos será a região que integraremos, ou seja, esses pontos serão os limites. Igualando as funções:

2 = 4 s e n θ

s e n θ = 1 2

θ = π 6     e   θ = 5 π 6  

Substituindo cada função na equação da área:

A = ∫ π 6 5 π 6 1 2 16 s e n 2 θ - 4 d θ

Passo 2

Vamos agora resolver primeiro a integral indefinida para depois substituirmos os limites:

∫ 1 2 16 s e n 2 θ - 4 d θ

Utilizando a seguinte identidade trigonométrica:

s e n 2 θ = 1 - c o s 2 θ 2

Ficamos com:

∫ 1 2 8 ( 1 - c o s 2 θ ) - 4 d θ = ∫ 1 2 8 - 8 c o s 2 θ - 4 d θ = ∫ 1 2 4 - 8 c o s 2 θ d θ

Integrando cada termo:

2 θ - 2 s e n 2 θ + c

Passo 3

Substituindo os limites:

A = 2 5 π 6 - 2 s e n 2 5 π 6 - 2 π 6 + 2 s e n 2 π 6

A = 4 π 3 + 2 3

Resposta

A = 4 π 3 + 2 3

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