Enunciado

Encontre a área da região dentro de um laço da curva:

r 2 = s e n 2 θ

Passo 1

A curva dada possui a segunte forma:

Passo 2

A curva passa pela origem quando seu raio é 0, dessa forma podemos fazer:

s e n 2 θ = 0 ∴ 2 θ = sen - 1 ⁡ 0 = π n   ∴ θ = π 2 n  

Dessa forma, nossos limites de integração são 0   e   π 2 .

Passo 3

Para calcular a área abaixo de uma curva, lembramos que:

A = 1 2 ∫ a b r 2 d θ = 1 2 ∫ 0 π 2 ( s e n 2 θ ) d θ

Passo 4

Podemos fazer essa integral por substituição simples. Seja

u = 2 θ

d u = 2 d θ

Assim podemos reescrever a integral como:

1 2 ∫ s e n u d u 2 = - 1 4 c o s u

Voltando para a variável original temos:

- 1 4 c o s 2 π 2 - c o s 0   = - 1 4 ( - 1 - 1 ) = 1 2

Resposta

A área abaixo da curva é 1 2 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre as áreas das regiões nos Exercícios 1-8Dentro de uma folha da rosa de quatro pétalas r = cos ⁡ 2 θ .
Encontre as áreas das regiões nos Exercícios 9-18Dentro do círculo r = 3 a cos ⁡ θ e fora da cardioide r = a 1 + cos ⁡ θ ,a0 .
Encontre as áreas das regiões nos Exercícios 9-18Dividida pelos círculos r = 2 cos ⁡ θ e r = 2 sen ⁡ θ .
Encontre as áreas das regiões nos Exercícios 9-18Dividida pelas cardioides r = 2 ( 1 + cos ⁡ θ ) e r = 2 ( 1 - cos ⁡ θ ) .
Encontre os comprimentos das curvas nos exercícios 21-28.A espiral r = θ 2 ,0 ≤ θ ≤ 5 .