Enunciado

Use uma calculadora ou um computador para encontrar o comprimento do laço, com precisão de quatro casas decimais. Se necessário, use um gráfico para determinar o intervalo de parâmetro.

r = c o s 2 θ

Passo 1

A curva é dada por:

Passo 2

Para encontrarmos o comprimento desejado,devemos lembrar que o comprimento de arco é dado por:

L = ∫ a b r 2 + d r d θ 2 d θ

Temos que r = c o s 2 θ , logo:

d r d θ = - 2 s e n 2 θ

Passo 3

Aplicando na equação do arco, temos:

L = ∫ - π 4 π 4 ( c o s 2 θ ) 2 + ( - 2 s e n 2 θ ) 2 d θ = ∫ - π 4 π 4 cos 2 ⁡ 2 θ + 4 s e n 2 2 θ d θ = ∫ - π 4 π 4 1 + 3 s e n 2 2 θ d θ

Passo 4

Com o auxílio de um programa, calcula-se numericamente a integral:

∫ - π 4 π 4 1 + 3 s e n 2 2 θ d θ ≈ 2,4221

Resposta

O arco possui comprimento aproximado de 2,4221 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Seja γ : I → R 2 uma curva derivável até a 2ª ordem, com γ ' t ≠ 0 no intervalo I . Seja s t = ∫ t 0 t γ ' u d u , t ∈ I , com t 0 fixo em I . Sejam, ainda, T → t = γ ' t γ ' t o versor de γ ' t e t →
Dê exemplos de curvas γ e δ tais que I mγ = I mδ , mas que seus comprimentos sejam diferentes.
Sejam γ : a , b → R n e δ : c , d → R n duas curvas com derivadas contínuas. Suponha que exista g : c , d → a , b , com derivada contínua e tal que g ' u0 em c , d . Suponha, ainda, g c = a ,g d = b e
Escreva uma integral que represente o comprimento da curva. A seguir, use sua calculadora para encontrar o comprimento com precisão de quatro casas decimais. x = t + e - t ,y = t - e - t ,0 ≤ t ≤ 2
Escreva uma integral que represente o comprimento da curva. A seguir, use sua calculadora para encontrar o comprimento com precisão de quatro casas decimais. x = t + t ,y = t - t ,0 ≤ t ≤ 1