Enunciado

Encontre a área da região dentro de um laço da curva:

r = 4   c o s 3 θ

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte equação polar que descreve uma curva:

r = 4   c o s 3 θ

Queremos calcular a área da região dentro de um dos laços dessa curva.

Mas como assim dentro de um dos laços??

A curva tem formato de um trevo de três folhas. E queremos encontrar a área de uma das “folhas”, conforme mostra a figura abaixo:

Essa figura foi colocada só para a gente enxergar melhor o que queremos calcular.

Como queremos encontrar uma área A de uma curva que é dada em coordenadas polares, temos que:

A = 1 2 ∫ a b r 2 d θ

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 2

Primeiro vamos encontrar os limites de integração!!

A curva passa pela origem quando seu raio é 0 , dessa forma podemos fazer:

4 c o s 3 θ = 0 ∴

3 θ = cos - 1 ⁡ 0 ∴

3 θ = π 2 + π n   ∴

θ = π 6 + π 3 n  

Dessa forma, nossos limites de integração são π 6   e - π 6 .

Passo 3

Para calcular a área abaixo de uma curva, lembramos que:

A = 1 2 ∫ a b r 2 d θ

Substituindo r :

A = 1 2 ∫ - π 6 π 6 16 cos 2 ⁡ 3 θ d θ ∴

A = 8 ∫ - π 6 π 6 ( cos 2 ⁡ 3 θ ) d θ

Passo 4

Lembrando que:

cos 2 ⁡ θ = 1 2 1 + c o s 2 θ

Temos:

A = 4 ∫ - π 6 π 6 ( 1 + c o s 6 θ ) d θ ∴

A = 4 ∫ - π 6 π 6 d θ + 4 ∫ - π 6 π 6 ( c o s 6 θ ) d θ

A primeira integral é dada por:

4 ∫ - π 6 π 6 d θ = 4 π 6 - - π 6 = 4 π 3

Já na segunda integral, podemos fazer por substituição simples. Seja:

u = 6 θ

d u = 6 d θ

Assim podemos reescrever a integral como:

4 ∫ c o s u d u 6 = 2 3 s e n u

Voltando para a variável original temos:

8 3 s e n 6 π 6 - s e n - 6 π 6 = 0

Assim, a área procurada é a soma dessas 2 integrais, ou seja:

A = 4 3 π

Resposta

A área abaixo da curva é 4 3 π

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