Enunciado

Trace a curva com uma ferramenta gráfica e calcule a área limitada por ela

r = 1 + 2 s en ⁡ 6 θ

Passo 1

Primeiro vamos traçar nossa curva, depois a gente calcula a área.

Com a ajuda do Winplot, nossa curva fica:

Essa coisa lokona aí....

Passo 2

Agora sim vamos calcular a área da curva!

A área de uma curva em coordenadas polares é dada por

A = ∫ a b 1 2 r 2 d θ

Então temos que identificar cada termo dessa integral aí, substituir e calcular.

Passo 3

O intervalo de integração seria o intervalo em que a curva está definida:

a = 0

b = 2 π

Continuando, o r é a própria parametrização

r = 1 + 2 sen ⁡ 6 θ

Então é só substituir e integrar esse negocio.

Passo 4

Vamos lá:

A = 1 2 ∫ 0 2 π 1 + 2 sen ⁡ 6 θ 2 d θ

A = 1 2 ∫ 0 2 π ( 1 + 4 sen ⁡ 6 θ + 4 s en 2 ⁡ 6 θ ) d θ

A = 1 2 ∫ 0 2 π 1 + 4 s en ⁡ 6 θ + 4 ∙ 1 2 1 - cos ⁡ 2 . 6 θ d θ

A = 1 2 ∫ 0 2 π 1 + 4 sen ⁡ 6 θ + 2 1 - cos ⁡ 12 θ d θ

A = 1 2 [ θ + 4 6 cos ⁡ 6 θ + 2 ( θ - 1 12 sen ⁡ 12 θ ) ] 2 π 0

A = 1 2 [ θ + 2 3 cos ⁡ 6 θ + 2 θ - 1 6 sen ⁡ 12 θ ] 2 π 0

A = 1 2 [ 2 π + 2 3 cos ⁡ 12 π + 4 π - 1 6 sen ⁡ 24 π - 0 - 2 3 cos ⁡ 0 - 0 + 1 6 sen ⁡ 0 ] 2 π 0

A = 1 2 [ 6 π + 2 3 - 0 - 0 - 2 3 - 0 + 0 ] 2 π 0

A = 6 π 2 = 3 π

Resposta

A = 3 π

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Se a curva x = t + t 3y = t - 1 t 2 1 ≤ t ≤ 2 girar em torno do eixo x , estime a área da superfície resultante com precisão de três casas decimais.
Calcule a área da superfície gerada pela rotação da curva dada em torno do eixo y .66. x = e t - t , y = 4 e t 2 ,0 ≤ t ≤ 1
Encontre a área exata da superfícies obtida pela rotação da curva dada ao redor do eixo x.59. x = t 3 ,y = t 2 , 0 ≤ t ≤ 1
Escreva, mas não calcule, uma integral que represente a área da superfície obtida pela rotação da curva dada ao redor do eixo x.57. x = s e n 2 t ,y = s e n3 t , 0 ≤ t ≤ π / 3
Encontre a área exata da superfícies obtida pela rotação da curva dada ao redor do eixo x.60. x = 3 t - t 3 ,y = 3 t 2 , 0 ≤ t ≤ 1