Enunciado

Encontre a área da região dentro de um laco, onde r = s e n 2 θ .

Passo 1

Em coordenadas polares temos que a área de uma região e dada pela integral ∫ a b 1 2 r θ 2 d θ onde r e a função que determina como o raio da curva varia em relação ao ângulo no intervalo [ a , b ] .

Teremos que ∫ a b 1 2 r θ 2 d θ = R b - R ( a ) onde R e uma primitiva de 1 2 r θ 2 , ou seja, se derivarmos R teremos a função dentro da integral.

No problema, precisamos identificar o intervalo onde a curva faz um laço, como a função que determina o raio e periódica de período menor que 2 π em algum momento ela “se fecha” e esse intervalo sera nosso domínio de integração.

Passo 2

Temos que r 0 = 0 = r ( π 2 ) , onde π 2 e o menor ângulo entre 0 e 2 π onde a função volta ao zero, então temos que nosso intervalo é: [ 0 , π 2 ] .

Passo 3

Como a expressão do raio e dada, já podemos calcular a integral:

∫ a b 1 2 r θ 2 d θ = ∫ 0 π 2 s e n 2 θ 2 2 d θ  

Precisamos de uma substituição para resolver essa integral, vamos la:

Usando as relações: s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ = 1 e a formula do arco duplo do cosseno: cos ⁡ 2 θ = cos 2 ⁡ θ - s e n 2 ( θ ) . Trocando θ por 2 θ   , passando o seno ao quadrado para o outro lado, substituindo e simplificando, temos:

s e n 2 2 θ = 1 - cos ⁡ 4 θ 2  

Passo 4

Agora, substituindo a expressão na integral e resolvendo:

∫ 0 π 2 s e n 2 θ 2 2 d θ = ∫ 0 π 2 1 - cos ⁡ 4 θ 4   d θ   =   ∫ 0 π 2 1 4 d θ - ∫ 0 π 2 cos ⁡ 4 θ 4 d θ

Usando que uma primitiva da função na segunda integral e s e n 4 θ 16 , temos

= π 8 - 0 4 - s e n 2 π 16 - s e n 0 16 = π 8

Resposta

Logo, a resposta será π 8

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Encontre a área da região sombreada.
Esboce a curva e calcule a área delimitada por ela. r = 4 + 3 sen ⁡ θ
Encontre a área da região dentro de um laço da curva: r 2 = s e n 2 θ
Encontre a área da região dentro de um laço da curva: r = 2 s e n 5 θ
Esboce a curva e calcule a área delimitada por ela. r = 2s e nθ