Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 10.4 - Ex. 17
Encontre a área da região dentro de um laco, onde .
Passo 1
Em coordenadas polares temos que a área de uma região e dada pela integral onde r e a função que determina como o raio da curva varia em relação ao ângulo no intervalo .
Teremos que onde e uma primitiva de , ou seja, se derivarmos teremos a função dentro da integral.
No problema, precisamos identificar o intervalo onde a curva faz um laço, como a função que determina o raio e periódica de período menor que em algum momento ela “se fecha” e esse intervalo sera nosso domínio de integração.
Passo 2
Temos que , onde e o menor ângulo entre 0 e onde a função volta ao zero, então temos que nosso intervalo é: .
Passo 3
Como a expressão do raio e dada, já podemos calcular a integral:
Precisamos de uma substituição para resolver essa integral, vamos la:
Usando as relações: e a formula do arco duplo do cosseno: . Trocando por , passando o seno ao quadrado para o outro lado, substituindo e simplificando, temos:
Passo 4
Agora, substituindo a expressão na integral e resolvendo:
Usando que uma primitiva da função na segunda integral e , temos
Resposta
Logo, a resposta será
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