Enunciado

Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva.

r = 4 s en ⁡ θ

r = 2

Passo 1

Vamos plotar nossas curvas para termos ideia da área que a gente tá calculando.

Portanto, queremos a área dessa região sombreada.

A área de uma curva em coordenadas polares é dada por

A = ∫ a b 1 2 r 2 d θ

Então temos que identificar cada termo dessa integral aí, substituir e calcular.

Passo 2

O intervalo de integração seria o intervalo em que a curva está definida.

Para encontrar esse intervalo, no caso dessa questão, vamos precisar encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas, já que queremos a área não da primeira curva nem da segunda curva, mas sim da região delimitada entre a primeira e a segunda.

Para isso, igualamos as duas curvas:

4 sen ⁡ θ = 2

s en ⁡ θ = 1 2

θ = π 6

Ou

θ = 5 π 6

Assim, esses são os dois valores de θ no qual as curvas se intersectam, logo, vai ser o intervalo no qual nossa região de interesse está definida:

π 6 ≤ θ ≤ 5 π 6

Então, o intervalo de integração seria

a = π 6

b = 5 π 6

Maaaas, se você reparar, nossa região sombreada é simétrica!

Logo, podemos dividir ela em duas e calcular a área de θ = π 6 até θ = π 2 e depois multiplicar por dois pra ter a área total, o que acham?

Isso vai facilitar nossa vida na hora de fazer a integral!!

Passo 3

Continuando, falta a gente descobrir quem é o r .

O r é a própria parametrização. Mas como queremos descobrir a área entre a primeira e a segunda curva, vê se faz sentido pra vocês que a gente faça a área da curva de fora menos a área da curva de dentro?

Faz né?!

Assim, vamos ter dois r , porque vamos ter duas áreas, ou seja, duas integrais, a da curva de fora e a da curva de dentro.

r = 4 sen ⁡ θ

r = 2

Então agora é só substituir e integrar esse negocio.

Passo 4

Vamos lá:

A 1 = 1 2 ∫ π 6 π 2 ( 4 sen ⁡ θ ) 2 d θ - 1 2 ∫ π / 6 π / 2 2 2 d θ

A 1 = 1 2 ∫ π 6 π 2 16 sen 2 ⁡ θ d θ - 1 2 ∫ π / 6 π / 2 4 d θ

A 1 = 1 6 2 ∫ π 6 π 2 sen 2 ⁡ θ d θ - 4 2 ∫ π / 6 π / 2 1 d θ

A 1 = 8 ∫ π 6 π 2 1 2 1 - cos ⁡ 2 θ d θ - 2 ∫ π / 6 π / 2 1 d θ

A 1 = 8 1 2 θ - 1 4 sen ⁡ 2 θ π / 2 π / 6 - 2 θ π / 2 π / 6

A 1 = 8 1 2 ∙ π 2 - 1 4 sen ⁡ π - 1 2 ∙ π 6 - 1 4 sen ⁡ π 3 π / 2 π / 6 - 2 π 2 - π 6 π / 2 π / 6

A 1 = 8 π 4 - 0 - π 12 - 1 4 3 2 - 2 2 π 6

A 1 = 8 2 π 12 + 3 8 - 4 π 6

A 1 = 3 + 4 π 6

Assim, a área total da curva é

A T = 2 × A 1 = 2 3 + 4 π 3

Resposta

A = 2 3 + 4 π 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a área exata da superfícies obtida pela rotação da curva dada ao redor do eixo x.61. x = a cos 3 ⁡ θ ,y = as e n 3 θ 2 , 0 ≤ θ ≤ π / 2
Calcule a área da superfície gerada pela rotação da curva dada em torno do eixo y .65. x = 3 t 2 , y = 2 t 3 ,0 ≤ t ≤ 5
Se o arco da curva no Exercício 50 girar em torno do eixo x , estime a área da superfície resultante usando a Regra de Simpson com n = 4 .
Trace a curva x = 2 cos ⁡ θ - cos ⁡ 2 θy = 2 s e nθ - s e n 2 θ Se essa curva girar em torno do eixo x , calcule a área da superfície resultante. (Use o gráfico para ajudar a encontrar o intervalo cor
Encontre a fórmula para a área da superfície gerada pela rotação da curva polar r = f θ , a ≤ θ ≤ b (onde f ' é contínua e 0 ≤ ab ≤ π ) , em torno da reta θ = π 2 . Calcule a área da superfície gerada