Enunciado

  1. Encontre a fórmula para a área da superfície gerada pela rotação da curva polar r = f θ ,     a ≤ θ ≤ b (onde f ' é contínua e 0 ≤ a < b ≤ π ) , em torno da reta θ = π 2 .
  2. Calcule a área da superfície gerada pela rotação da lemniscata r 2 = c o s 2 θ em torno da reta θ = π 2 .

Passo 1

  1. Vamos lembrar que a área de superfície com equações paramétricas, girando sobre o eixo y, pode ser encontrada por
  2. S = ∫ a b 2 π x   d x d t 2 + d y d t 2   d t

    Para equações polares nós temos θ   ao invés de t, e x = r c o s θ

    S = ∫ a b 2 π r c o s θ   d x d θ 2 + d y d θ 2   d θ

    Para essa seção nós também sabemos que

    d x d t 2 + d y d t 2 = r 2 + d r d θ 2

    Então podemos escrever

    S = ∫ a b 2 π r c o s θ   r 2 + d r d θ 2   d θ

    Passo 2

  3. Para resolver essa parte da questão primeiro precisamos entender o que é essa tal lemniscata r 2 = c o s 2 θ , seu gráfico fica assim:

A parte no primeiro quadrante pode ser obtida fazendo r = c o s 2 θ           c o m   0 ≤ θ ≤ π 4

Nós podemos rotacionar essa parte e multiplicá-la por 2 para obter a área total incluindo a área gerada pela parte dela no quarto quadrante

Passo 2

Queremos calcular S = ∫ a b 2 π r c o s θ   r 2 + d r d θ 2   d θ , para isso vamos encontrar d r / d θ :

r 2 = c o s 2 θ

2 r   d r =   - 2 s e n 2 θ d θ

d r d θ =   - s e n 2 θ r

Agora vamos substituir na integral:

S = ∫ a b 2 π r c o s θ   r 2 + d r d θ 2   d θ

S = 2 ∫ 0 π / 4 2 π c o s 2 θ c o s θ   c o s 2 θ + s e n 2 θ / r 2         d θ

S = 4 π ∫ 0 π / 4 c o s θ   c o s 2 θ c o s 2 θ + s e n 2 θ r 2         d θ

S = 4 π ∫ 0 π / 4 c o s θ   cos 2 ⁡ 2 θ + c o s 2 θ s e n 2 θ c o s 2 θ           d θ

S = 4 π ∫ 0 π / 4 c o s θ   cos 2 ⁡ 2 θ + s e n 2 2 θ         d θ

S = 4 π ∫ 0 π / 4 c o s θ   1         d θ

S = 4 π   s e n θ 0 π / 4    

S = 4 π   2 2 - 0

S = 2 π 2

Resposta

S = 2 π 2

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Encontre a área da região que está dentro de ambas as curvas r = 3 + 2 cos ⁡ θ r = 3 + 2 sen ⁡ θ