Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.4 - Ex. 56
- Encontre a fórmula para a área da superfície gerada pela rotação da curva polar (onde é contínua e , em torno da reta
- Calcule a área da superfície gerada pela rotação da lemniscata em torno da reta .
Passo 1
- Vamos lembrar que a área de superfície com equações paramétricas, girando sobre o eixo y, pode ser encontrada por
- Para resolver essa parte da questão primeiro precisamos entender o que é essa tal lemniscata , seu gráfico fica assim:
Para equações polares nós temos ao invés de t, e
Para essa seção nós também sabemos que
Então podemos escrever
Passo 2
A parte no primeiro quadrante pode ser obtida fazendo
Nós podemos rotacionar essa parte e multiplicá-la por para obter a área total incluindo a área gerada pela parte dela no quarto quadrante
Passo 2
Queremos calcular , para isso vamos encontrar :
Agora vamos substituir na integral:
Resposta
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Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva. r = 1 - s en θ r = 1
Calcule a área limitada pelo laço do estrofoide r = 2 cos θ - sec θ
Esboce a curva e calcule a área limitada por ela r = 2 + cos 2 θ
Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva. r = 3 sen θ r = 2 - sen θ
Encontre a área da região que está dentro de ambas as curvas r = 3 + 2 cos θ r = 3 + 2 sen θ