Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 10.4 - Ex. 16
Trace a curva com uma ferramenta gráfica e calcule a área limitada por ela
Passo 1
Primeiro vamos traçar nossa curva, depois a gente calcula a área.
Com a ajuda do Winplot, nossa curva fica:
MANO, olha essa curva.... ainda bem que a questão teve o bom senso de deixar usar ferramenta gráfica né.. porque ninguém ia merecer ficar plotando ponto pra descobrir a cara dessa curva....
Passo 2
Agora sim vamos calcular a área da curva!
A área de uma curva em coordenadas polares é dada por
Então temos que identificar cada termo dessa integral aí, substituir e calcular.
Passo 3
O intervalo de integração seria o intervalo em que a curva está definida:
Pois se plotarmos a curva de até obteremos 2 voltas na mesma curva! Ou seja, só metade do intervalo já é suficiente para traçar a curva.
Continuando, o é a própria parametrização
Então é só substituir e integrar esse negocio.
Passo 4
Vamos lá:
Agora se prepara porque além de usar as fórmulas do ângulo duplo que a gente tá usando direto, a gente vai usar também uma fórmula de adição e subtração.
Se você tiver com dificuldade nessa parte, a dica que eu te dou é dar uma olhadinha no livro, lá nas páginas de referência tem isso! Mas é aquela parada de
Enfim, voltando a nossa integral...