Enunciado

Trace a curva com uma ferramenta gráfica e calcule a área limitada por ela

r = 2 sen ⁡ θ + 3 sen ⁡ 9 θ

Passo 1

Primeiro vamos traçar nossa curva, depois a gente calcula a área.

Com a ajuda do Winplot, nossa curva fica:

MANO, olha essa curva.... ainda bem que a questão teve o bom senso de deixar usar ferramenta gráfica né.. porque ninguém ia merecer ficar plotando ponto pra descobrir a cara dessa curva....

Passo 2

Agora sim vamos calcular a área da curva!

A área de uma curva em coordenadas polares é dada por

A = ∫ a b 1 2 r 2 d θ

Então temos que identificar cada termo dessa integral aí, substituir e calcular.

Passo 3

O intervalo de integração seria o intervalo em que a curva está definida:

a = 0

b = π

Pois se plotarmos a curva de 0 até 2 π obteremos 2 voltas na mesma curva! Ou seja, só metade do intervalo já é suficiente para traçar a curva.

Continuando, o r é a própria parametrização

r = 2 sen ⁡ θ + 3 sen ⁡ 9 θ

Então é só substituir e integrar esse negocio.

Passo 4

Vamos lá:

A = 1 2 ∫ 0 π 2 sen ⁡ θ + 3 sen ⁡ 9 θ 2 d θ

A = 1 2 ∫ 0 π ( 4 sen 2 ⁡ θ + 12 sen ⁡ θ sen ⁡ 9 θ + 9 sen 2 ⁡ 9 θ ) d θ

Agora se prepara porque além de usar as fórmulas do ângulo duplo que a gente tá usando direto, a gente vai usar também uma fórmula de adição e subtração.

Se você tiver com dificuldade nessa parte, a dica que eu te dou é dar uma olhadinha no livro, lá nas páginas de referência tem isso! Mas é aquela parada de

cos ⁡ ( a + b ) = cos ⁡ a cos ⁡ b - sen ⁡ a sen ⁡ b

cos ⁡ ( a - b ) = cos ⁡ a cos ⁡ b + sen ⁡ a sen ⁡ b

Enfim, voltando a nossa integral...

A = 1 2 ∫ 0 π ( 4 ∙ 1 2 ( 1 - cos  ⁡ 2 θ ) + 12 ∙ 1 2 ( cos ⁡ θ - 9 θ - cos ⁡ θ + 9 θ ) + 9 ∙ 1 2 ( 1 - cos ⁡ 2.9 θ ) ) d θ

A = 1 2 ∫ 0 π ( 2 ( 1 - cos  ⁡ 2 θ ) + 6 ( cos ⁡ θ - 9 θ - cos ⁡ θ + 9 θ ) + 9 2 ( 1 - cos ⁡ 18 θ ) ) d θ

A = 1 2 ∫ 0 π ( 2 - 2 cos  ⁡ 2 θ + 6 cos ⁡ - 8 θ - 6 cos ⁡ 10 θ + 9 2 - 9 2 cos ⁡ 18 θ ) d θ

A = 1 2 [ 2 θ - 2 2 sin ⁡ 2 θ - 6 8 sin ⁡ - 8 θ - 6 10 sin ⁡ 10 θ + 9 2 θ - 9 2 ∙ 1 18 sin ⁡ 18 θ ] π 0

A = 1 2 [ 13 2 θ - sin ⁡ 2 θ - 6 8 sin ⁡ - 8 θ - 6 10 sin ⁡ 10 θ - 1 4 sin ⁡ 18 θ ] π 0

A = 1 2 [ 13 2 π - sin ⁡ 2 π - 6 8 sin ⁡ - 8 π - 6 10 sin ⁡ 10 π - 1 4 sin ⁡ 18 π - 0 - sin ⁡ 0 - 6 8 sin ⁡ 0 - 6 10 sin ⁡ 0 - 1 4 sin ⁡ 0 ] π 0

A = 1 2 [ 13 π 2 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 ] 2 π 0

A = 13 π 4

Resposta

A = 13 π 4

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Encontre a área da regiao que é limitada pelas curvas dadas e esta no setor especificado: r = s e n ( θ ) ,π / 3 ≤ θ ≤ 2 π / 3