Enunciado

Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva.

r = 3 sen ⁡ θ

r = 2 - sen ⁡ θ

Passo 1

Vamos plotar nossas curvas para termos ideia da área que a gente tá calculando.

Portanto, queremos a área dessa região com bolinhas.

A área de uma curva em coordenadas polares é dada por

A = ��� a b 1 2 r 2 d θ

Então temos que identificar cada termo dessa integral aí, substituir e calcular.

Passo 2

O intervalo de integração seria o intervalo em que a curva está definida.

Para encontrar esse intervalo, no caso dessa questão, vamos precisar encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas, já que queremos a área não da primeira curva nem da segunda curva, mas sim da região delimitada entre a primeira e a segunda.

Para isso, igualamos as duas curvas:

3 sen ⁡ θ = 2 - sen ⁡ θ

4 sen ⁡ θ = 2

sen ⁡ θ = 1 2

θ = π 6

Ou

θ = 5 π 6

Assim, esses são os dois valores de θ no qual as curvas se intersectam, logo, vai ser o intervalo no qual nossa região de interesse está definida:

π 6 ≤ θ ≤ 5 π 6

Então, o intervalo de integração seria

a = π 6

b = 5 π 6

Maaaas, se você reparar, nossa região sombreada é simétrica!

Logo, podemos dividir ela em duas e calcular a área de θ = π 6 até θ = π 2 e depois multiplicar por dois pra ter a área total, o que acham?

Isso vai facilitar nossa vida na hora de fazer a integral!!

Passo 3

Continuando, falta a gente descobrir quem é o r .

O r é a própria parametrização. Mas como queremos descobrir a área entre a primeira e a segunda curva, vê se faz sentido pra vocês que a gente faça a área da curva de fora menos a área da curva de dentro?

Faz né?!

Assim, vamos ter dois r , porque vamos ter duas áreas, ou seja, duas integrais, a da curva de fora e a da curva de dentro.

r = 3 sen ⁡ θ

r = 2 - sen ⁡ θ

Então agora é só substituir e integrar esse negocio.

Passo 4

Vamos lá:

A 1 = 1 2 ∫ π / 6 π 2 3 sen ⁡ θ 2 d θ - 1 2 ∫ π / 6 π 2 2 - sen ⁡ θ 2 d θ

A 1 = 1 2 ∫ π / 6 π 2 9 sen 2 ⁡ θ d θ - 1 2 ∫ π / 6 π 2 4 - 4 sen ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ d θ

Como aqui a gente tá com duas integrais grandes, vamos juntar elas pra ver se corta alguma coisa e facilita a nossa vida:

A 1 = 1 2 ∫ π 6 π 2 9 sen 2 ⁡ θ - 4 + 4 sen ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ d θ

A 1 = 1 2 ∫ π 6 π 2 8 sen 2 ⁡ θ - 4 + 4 sen ⁡ θ d θ

A 1 = 4 2 ∫ π 6 π 2 2 sen 2 ⁡ θ - 1 + sen ⁡ θ d θ

A 1 = 2 ∫ π 6 π 2 2 ∙ 1 2 ( 1 - cos ⁡ 2 θ ) - 1 + sen ⁡ θ d θ

A 1 = 2 ∫ π 6 π 2 ( 1 - cos ⁡ 2 θ ) - 1 + sen ⁡ θ d θ

A 1 = 2 ∫ π 6 π 2 - cos ⁡ 2 θ + sen ⁡ θ d θ

A 1 = 2 - 1 2 sen ⁡ 2 θ - cos ⁡ θ π 2 π 6

A 1 = 2 - 1 2 sen ⁡ π - cos ⁡ π 2 - 1 2 sen ⁡ π 3 - cos ⁡ π 6

A 1 = 2 - 1 2 ∙ 0 - 0 - 1 2 ∙ 3 2 - 3 2

A 1 = 2 2 4 + 3 4

A 1 = 2 + 3 2

Assim, a área total da curva é

A T = 2 × A 1 = 2 2 + 3 2 = 2 + 3

Resposta

A = 2 + 3

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