Enunciado

Encontre a área da regiao sombreada, onde r = theta .

Passo 1

Em coordenadas polares temos que a área de uma região é dada pela integral int_a^b (1)/(2) r (theta)^2 d theta onde r é a função que determina como o raio da curva varia em relação ao ângulo no intervalo [ a , b ] .No caso, esta bem explícito qual a função porém, usando a imagem como referência, precisamos descobrir qual o intervalo que sera o domínio de integração.

Teremos que int_a^b (1)/(2) r (theta)^2 d theta = R (b) - R ( a ) , pelo Teorema Fundamental do Cálculo, onde R e uma primitiva de (1)/(2) r (theta)^2 .

Passo 2

Na figura, a área sombreada esta no primeiro e segundo quadrante, então o ângulo percorre, partindo do eixo x no sentido anti-horario, (pi)/(2) para percorrer o primeiro quadrante e mais (pi)/(2) para percorrer o segundo.

Portanto, partindo do 0 o ângulo percorre pi , então temos que o intervalo em questão e: [ 0 , pi ] .

Passo 3

Como a expressão do raio e dada, já podemos calcular a integral:

int_a^b (1)/(2) r (theta)^2 d theta = int_0^(pi) (1)/(2) theta^2 d theta

Temos que uma primitiva da função que queremos integrar e (theta^3)/(3) ,então:

int_0^(pi) (1)/(2) theta^2 d theta = (pi^3)/(6) - (0)/(6) = (pi^3)/(6)

Resposta

Logo, a resposta e: (pi^3)/(6)

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Encontre a área da região que está dentro de ambas as curvas r = 3 cos ⁡ θ r = sen ⁡ θ