Enunciado

Encontre a área da região sombreada:

Passo 1

Precisamos determinar o intervalo em que a região se encontra para podermos aplicar os limites de integração na função da área, o intervalo nesse caso será - (pi)/(2) <= theta <= (pi)/(2) então a equação da área será:

A = int_(- pi // 2)^(pi // 2) (1)/(2) r^2 d theta = int_(- pi // 2)^(pi // 2) (1)/(2) ( 4 + 3 s e n theta )^2 d theta

Passo 2

Vamos primeiro resolver a integral indefinida e depois aplicamos os limites:

int (1)/(2) (4 + 3 s e n theta)^2 d theta

Expandindo o polinômio:

int (1)/(2) (16 + 24 s e n theta + 9 s e n^2 theta) d theta

Pela linearidade das integrais:

int (1)/(2) 16 d theta + int (1)/(2) (24 s e n theta) d theta + int (1)/(2) (9 s e n^2 theta) d theta

Usando a propriedade trigonométrica:

s e n^2 theta = (1 - c o s 2 theta)/(2)

Ficamos com:

int (1)/(2) 16 d theta + int (1)/(2) (24 s e n theta) d theta + int (9)/(4) (1 - c o s 2 theta) d theta

Integrando termo a termo:

8 theta - 12 c o s theta + (9 theta)/(4) - (9)/(8) s e n 2 theta + c

Tirando MMC e somando:

(82 theta - 96 c o s theta + 9 s e n 2 theta)/(8) + c

Passo 3

Substituindo os limites:

A = (82 ((pi)/(2)) - 96 c o s ((pi)/(2)) + 9 s e n (2 (pi)/(2)))/(8) - (82 (- (pi)/(2)) - 96 c o s (- (pi)/(2)) + 9 s e n (- 2 (pi)/(2)))/(8)

A = (41 pi)/(4)

Resposta

A = (41 pi)/(4)

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