Enunciado

Mostre que a equação polar r = a s e n θ + b c o s θ , onde a b ≠ 0 , representa um círculo, e encontre seu centro e seu raio.

Passo 1

Para isso, vamos organizar a equação de maneira que ela se aproxima da equação de uma circunferência:

x 2 + y 2 = 1

Para isso, vamos multiplicar os dois lados da equação por r :

r 2 = a r s e n θ + b r c o s θ

Passo 2

Como

x = r c o s θ

E

y = r s e n θ

Podemos substituir na equação:

r 2 = a y + b x

Além disso,

r 2 = x 2 + y 2

Então ficamos com:

x 2 + y 2 = a y + b x

Passo 3

Passando tudo para o lado esquerdo:

x 2 - b x + y 2 - a y = 0

Somando

1 2 a 2   e   1 2 b 2

Em ambos os lados:

x 2 - b x + 1 2 b 2 + y 2 - a y + 1 2 a 2 = 1 2 a 2 + 1 2 b 2

Completando quadrados:

x - 1 2 b 2 + y - 1 2 a 2 = 1 4 ( a 2 + b 2 )

Que é a equação de uma circunferência.

Passo 4

O raio será dado pela raiz do lado direito:

R = 1 2 a 2 + b 2

E o centro é dado pelos termos que estão subtraindo x e y nos quadrados do lado esquerdo:

1 2 b ,   1 2 a

Resposta

x - 1 2 b 2 + y - 1 2 a 2 = 1 4 ( a 2 + b 2 )

R = 1 2 a 2 + b 2

1 2 b ,   1 2 a

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