Enunciado

Encontre a área da região sombreada:

Passo 1

O intervalo do ângulo já foi dado na própria questão, precisamos apenas aplicar a seguinte equação para calcularmos a área delimitada pela região:

A = int_1^(2 pi) (1)/(2) r^2 d theta = int_1^(2 pi) (1)/(2) (sqrt(l n theta))^2 d theta

Passo 2

Primeiro vamos resolver a integral indefinida, depois substituímos os limites no resultado:

int (1)/(2) (sqrt(l n theta))^2 d theta = (1)/(2) int l n theta d theta

Podemos resolver por integração por partes, chamamos f (theta) = l n theta => f^' (theta) = 1 // theta e g ' (theta) = 1 => g ( theta ) = theta , ficamos com:

(1)/(2) int l n theta d theta = (1)/(2) (theta l n theta - int 1 d theta)

Resolvendo a última integral:

(1)/(2) (theta l n theta - theta) + c

Passo 3

Substituindo os limites:

A = (1)/(2) (2 pi l n ( 2 pi ) - 2 pi) - (1)/(2) (ln (1) - 1) = (1)/(2) ( 2 pi l n ( 2 pi ) - 2 pi + 1 )

Que é aproximadamente:

A tilde= 3,13

Resposta

A tilde= 3,13

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Trace a curva e calcule a área delimitada por ela. r = 1 + 5s e n6 θ
Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva: r = 2 + s e n θ r = 3 s e n θ
Encontre a área da região que é limitada pela curva dada e está localizada no setor especificado.2. r = c o s θ , 0 ≤ θ ≤ π 6
Encontre a área da região que é limitada pela curva dada e está localizada no setor especificado.4. r = 1 θ , π / 2 ≤ θ ≤ 2 π
Encontre a área da região que é limitada pela curva dada e está localizada no setor especificado.3. r = s e n θ + c o s θ , 0 ≤ θ ≤ π