Enunciado

Esboce a curva e encontre a área que ela encerra:

r = 2 - c o s θ

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado é bem direto aqui!! A gente quer esboçar a seguinte curva e calcular a área dela:

r = 2 - c o s θ

Lembra de como encontramos a área A de uma curva polar?? Assim, olha:

A = ∫ 1 2 r 2 d θ

A gente vai determinar os limites de integração ao analisar seu gráfico, certinho?? Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Vamos plotar o nosso gráfico... mas vamos começar assim: primeiramente vamos plotar no plano cartesiano para entendermos melhor, certinho??

A nossa curva r = 2 - c o s θ é bem parecida com a curva do cosseno.

Mas, analisando a diferença entre as duas, temos que a nossa tem uma soma em 2 unidades (o que faz “subir” o gráfico em 2 unidades) e o cosseno está negativo (o que nos faz inverter o gráfico).

Assim, temos:

Passando para o plano polar, no primeiro quadrante, podemos ver que ele sai do ponto 1 , 0 e vai para o ponto 2 , π 2 , ou seja, ele aumenta sua amplitude de 1 para 2 da seguinte forma:

No segundo quadrante, ele aumenta sua amplitude para 3 :

No terceiro quadrante, ele diminui sua amplitude para 2 :

Por fim, no último quadrante, ele retorna para sua amplitude de tamanho 1 :

Lembrando que como estamos utilizando coordenadas polares os valores de r são positivos.

Passo 3

Agora vamos calcular a área!! 😉

Pelo gráfico, vemos que os extremos do intervalo do ângulo estão no intervalo 0 ≤ θ ≤ 2 π .

Assim, aplicando na equação da área, temos:

A = ∫ 0 2 π 1 2 r 2 d θ ∴

A = ∫ 0 2 π 1 2 ( 2 - c o s θ ) 2 d θ

Vamos primeiro resolver a integral indefinida para depois colocarmos os limites:

∫ 1 2 ( 2 - c o s θ ) 2 d θ

Expandindo o polinômio:

∫ 1 2 4 - 4 c o s θ + c o s 2 θ d θ

Pela linearidade da integral:

∫ 4 2 d θ - ∫ 4 c o s θ d θ + ∫ c o s 2 θ d θ

Utilizando a seguinte propriedade trigonométrica:

c o s 2 θ = 1 + c o s 2 θ 2

Ficamos com:

∫ 4 2 d θ - ∫ 4 2 c o s θ d θ + ∫ 1 4 1 + c o s 2 θ d θ

Integrando cada termo:

2 θ - 2 s e n θ + θ 4 + c o s 2 θ 8

Tirando MMC:

18 θ - 16 s e n θ + c o s 2 θ 8 + c

Passo 4

E por fim, substituindo os limites:

A = 18 2 π - 16 s e n 2 π + c o s ⁡ ( 2 π ) 8 - 18 0 - 16 s e n 0 + c o s ⁡ ( 2 * 0 ) 8

A = 9 π 2

Resposta

A = 9 π 2

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