Enunciado

Encontre a área dentro do laço maior e fora do laço menor da limaçon

r = 1 2 + cos ⁡ θ

Passo 1

A área de uma curva em coordenadas polares é dada por

A = ∫ a b 1 2 r 2 d θ

Antes de mais nada, vamos desenhar essa curva aí pra gente visualizar a área que teremos que calcular.

Com a ajuda no nosso bom e velho Winplot:

Queremos essa área pontilhada aí.

Mas, se você reparar, nossa figura é simétrica, então dá pr dividir essa área em dois e calcular só metade dela e depois multiplicar por dois, certo?

Passo 2

Ok, agora vamos pensar o intervalo de integração.

Quando θ = 0 , temos

r = 1 2 + cos ⁡ 0 = 3 2

Estamos nesse ponto azul

Quando θ = 2 π 3 , temos

r = 1 2 + cos ⁡ 2 π 3 = 0

Estamos no ponto verde:

Assim, podemos integrar nossa curva de θ = 0 até θ = 2 π 3 .

Só que com isso, a gente pega também esse loopingzinho de dentro, que é o tal do laço de dentro, que a gente NÃO quer na nossa área.

Então nesse caso, a gente vai precisar TIRAR a área desse laço interno aí.

Passo 3

Pra tirar a área do laço interno, vamos pensar:

Qual o valor de θ pra quando r vale zero e quandoo r está na pontinha do laço menor, ou seja, quando r vale - 1 2 (porque o r já atingiu zero, então agora conforme θ aumenta, r vai diminuindo, ok?)?

Para r = 0 , temos que

cos ⁡ θ = - 1 2

θ = 2 π 3

Show!

E para r = - 1 2 , temos que

cos ⁡ θ = - 1

θ = π

Passo 4

Dessa forma, vamos calcular a área da metade de cima do laço maior de θ = 0 até θ = 2 π 3 e subtrair a área do laço de dentro de θ = 2 π 3 até θ = π .

Vamos fazer isso daqui oh:

Mas isso vai ser só METADE da nossa área de interesse, que é essa aqui:

Então no final a gente vai multiplicar isso por 2.

Show de bola?

Passo 5

Vamos a integral.

A = ∫ 0 2 π / 3 1 2 1 2 + cos ⁡ θ 2 d θ - ∫ 2 π / 3 π 1 2 1 2 + cos ⁡ θ 2 d θ

A = 1 2 ∫ 0 2 π / 3 1 4 + cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ d θ - 1 2 ∫ 2 π / 3 π 1 4 + cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ d θ

A = 1 2 ∫ 0 2 π / 3 1 4 + cos ⁡ θ + 1 2 ( 1 + cos ⁡ 2 θ ) d θ - 1 2 ∫ 2 π / 3 π 1 4 + cos ⁡ θ + 1 2 ( 1 + cos ⁡ 2 θ ) d θ

A = 1 2 1 4 θ + sen ⁡ θ + 1 2 θ + 1 4 sen ⁡ 2 θ 2 π 3 0 - 1 2 1 4 θ + sen ⁡ θ + 1 2 θ + 1 4 sen ⁡ 2 θ π 2 π 3

A = 1 2 π 6 + 3 2 + π 3 - 3 8 - 0 + 0 + 0 + 0 - 1 2 π 4 + 0 + π 2 + 0 - π 6 + 3 2 + π 3 - 3 8

A = 1 2 π 2 + 3 3 8 - 1 2 3 π 4 - π 2 + 3 3 8

A = 1 2 π 2 + 3 3 8 - 3 π 4 - π 2 + 3 3 8

Assim, a área total é

A t = 2 × A = π 2 + 3 3 8 - 3 π 4 - π 2 + 3 3 8

A t = π - 3 π 4 + 6 3 8

A t = π 4 + 3 3 4

Resposta

A t = π 4 + 3 3 4

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