Enunciado

Encontre a área da superfície.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a parte da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4 que fica acima do plano z = 1 .

Como estamos interessados na região que fica acima do plano z = 1 , substituindo esse valor na equação da esfera, temos:

x^2 + y^2 = 3

Essa equação representa a região circular com raio igual a sqrt(3) .

Passo 2

Com isso, temos:

z = f (x , y) = sqrt(4 - x^2 - y^2) -> f_x = (- x) (4 - x^2 - y^2)^(- 1 // 2) , f_y = (- y) (4 - x^2 - y^2)^(- 1 // 2)

Sendo assim, a área da superfície pode ser escrita como:

A (S) = ∬ sqrt([(- x) (4 - x^2 - y^2)^(- (1)/(2))]^2 + [(- y) (4 - x^2 - y^2)^(- (1)/(2))]^2 + 1) d A

Conforme visto no passo 1, a região fornecida no enunciado é delimitada por um círculo, sendo assim, podemos mudar o sistema de coordenadas cartesianas para polar, com x = r c o s theta , y = r s e n theta , fazendo isso, temos:

int_0^(2 pi) int_0^(sqrt(3)) sqrt((r^2 cos^2 theta)/(4 - r^2) + (r^2 sin^2 theta)/(4 - r^2) + 1) r d r d theta

= int_0^(2 pi) int_0^(sqrt(3)) sqrt((r^2)/(4 - r^2) + 1) r d r d theta = int_0^(2 pi) int_0^(sqrt(3)) sqrt((r^2 + 4 - r^2)/(4 - r^2)) r d r d theta

= int_0^(2 pi) int_0^(sqrt(3)) (2)/(sqrt(4 - r^2)) r d r d theta = int_0^(2 pi) int_0^(sqrt(3)) 2 r (4 - r^2)^(- 1 // 2) d r d theta

Passo 3

Resolvendo a integral obtida no passo anterior temos:

int_0^(2 pi) [- 2 (4 - r^2)^(1 // 2)]_(r = 0)^(r = sqrt(3)) d theta = int_0^(2 pi) (- 2 + 4) d theta = [2 theta]_0^(2 pi)

= 4 pi

Sendo assim, temos:

A (S) = 4 pi

Resposta

A (S) = 4 pi

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Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada. ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 1 - x d y d x
Use um sistema de computação algébrica para determinar o volume exato do sólido.Limitado por z = x 2 + y 2 e z = 2 y .
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Determine o volume do sólido por subtração de dois volumes.O sólido no primeiro octante sob o plano z = x + y , acima da superfície z = x y e delimitada pela superfície x = 0 , y = 0 e x 2 + y 2 = 4 .
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ 0 y f ( x , y ) d x d y