Enunciado

Use um sistema de computação algébrica para determinar o volume exato do sólido.

Limitado por z = x 2 + y 2   e z = 2 y .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Fazendo z = x 2 + y 2 = 2 y , obtemos:

x 2 + y 2 - 2 y = 0

x 2 + y - 1 2 = 1

Trata-se de uma circunferência:

Em coordenadas cartesianas essa região é descrita como:

D = x , y ∈ R 2 | 1 - 1 - x 2 ≤ y ≤ 1 + 1 - x 2 ,   - 1 ≤ x ≤ 1  

Passo 2

Assim, o volume é dado por:

V = ∫ - 1 1 ∫ 1 - 1 - x 2 1 + 1 - x 2 2 y - x 2 - y 2 d y d x

Fazendo a integral exata usando uma calculadora gráfica, temos:

V = π 2

Resposta

V = π 2

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