Enunciado

Encontre a área da superfície.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a parte do cilindro x^2 + z^2 = 4 que fica acima do quadrado com vértices (0,0) , (1,0) , (0,1) e ( 1,1 ) .

Sendo assim, podemos reescrever a equação do cilindro como:

z = sqrt(4 - x^2)

Passo 2

Com isso, temos:

z = f (x , y) = sqrt(4 - x^2) -> f_x = - x (4 - x^2)^(- 1 // 2) , f_y = 0

Sendo assim, a área da superfície pode ser escrita como:

A (S) = ∬ sqrt([- x (4 - x^2)^(- (1)/(2))]^2 + (0)^2 + 1) d A

Já que a superfície sob a qual estamos integrando é um quadrado com os vértices dados no enunciado, iremos integrar com o seguinte intervalo:

int_0^1 int_0^1 sqrt((x^2)/(4 - x^2) + 1) d y d x = int_0^1 sqrt((x^2)/(4 - x^2) + 1) d x int_0^1 d y

Passo 3

Resolvendo a integral obtida no passo anterior sabendo que a integral em x é uma integral trigonométrica com a = 2 , ficamos com:

[2 sen^(- 1) (x)/(2)]_0^1 [y]_0^1 = ( 2 . (pi)/(6) - 0 ) ( 1 )

E, simplificando, temos:

A (S) = (pi)/(3)

Resposta

A (S) = (pi)/(3)

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Determine a área da superfície.A parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 z que está dentro do paraboloide z = x 2 + y 2 .
Determine a área da parte da superfície z = x 2 + y que está acima do triângulo com vértices 0,0 , 1,0 e 0,2 .
Encontre o volume do sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro z = 16 - x 2 e pelo plano y = 5 .
Determine o volume do sólido limitado pelo paraboloide z = 2 + x 2 + y - 2 2 e pelos planos z = 1 , x = ± 1 , y = 0ey = 4 .
Determine o volume do sólido que está abaixo da superfície z = 1 + x 2 y e y e os planos z = 0 , x = ± 1 , y = 0ey = 1 .