Enunciado

Encontre a área da superfície.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a parte do cilindro x 2 + z 2 = 4 que fica acima do quadrado com vértices 0,0 ,   1,0 ,   0,1 e ( 1,1 ) .

Sendo assim, podemos reescrever a equação do cilindro como:

z = 4 - x 2

Passo 2

Com isso, temos:

z = f x , y = 4 - x 2 → f x = - x 4 - x 2 - 1 / 2 ,     f y = 0

Sendo assim, a área da superfície pode ser escrita como:

A S = ∬ - x 4 - x 2 - 1 2 2 + 0 2 + 1 d A

Já que a superfície sob a qual estamos integrando é um quadrado com os vértices dados no enunciado, iremos integrar com o seguinte intervalo:

∫ 0 1 ∫ 0 1 x 2 4 - x 2 + 1   d y d x = ∫ 0 1 x 2 4 - x 2 + 1   d x ∫ 0 1 d y

Passo 3

Resolvendo a integral obtida no passo anterior sabendo que a integral em x é uma integral trigonométrica com a = 2 , ficamos com:

2 sen - 1 ⁡ x 2 0 1 y 0 1 = ( 2 . π 6 - 0 ) ( 1 )  

E, simplificando, temos:

A S = π 3

Resposta

A S = π 3

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Determine a área da superfície.A parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 z que está dentro do paraboloide z = x 2 + y 2 .
Determine a área da parte da superfície z = x 2 + y que está acima do triângulo com vértices 0,0 , 1,0 e 0,2 .
Encontre o volume do sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro z = 16 - x 2 e pelo plano y = 5 .
Determine o volume do sólido limitado pelo paraboloide z = 2 + x 2 + y - 2 2 e pelos planos z = 1 , x = ± 1 , y = 0ey = 4 .
Determine o volume do sólido que está abaixo da superfície z = 1 + x 2 y e y e os planos z = 0 , x = ± 1 , y = 0ey = 1 .