Enunciado

Encontre a área da superfície.

A parte do cilindro x 2 + z 2 = 4 que fica acima do quadrado com vértices 0,0 ,   1,0 ,   0,1 e ( 1,1 ) .

Passo 1

Fala, galerinha! De boa?

Nesse exercício iremos analisar a parte do cilindro

x 2 + z 2 = 4

que fica acima do quadrado com vértices 0,0 ,   1,0 ,   0,1 e ( 1,1 ) .

Sendo assim, podemos reescrever a equação do cilindro como:

z = 4 - x 2

A área da superfície com a equação z = f x , y é:

A S = ∬ D f x x , y 2 + f y x , y 2 + 1 d A

Ou seja, vamos achar as derivadas parciais de x e y da função:

z = 4 - x 2

  • f x x , y : derivada da nossa função em relação a x , onde tratamos as outras variáveis como constantes.
  • f y x , y : derivada da nossa função em relação a y , onde tratamos as outras variáveis como constantes.
  • E também vamos precisar dos limites de integração da função que é dado pela região D no plano x y . Para ter nossa intersecção da nossa função com o plano x y é só igualarmos z = 0   na nossa equação.

    Lembrando também que:

    d A = d x   d y = d y   d x

    Depois de acharmos as derivadas parciais e os limites de integração, é só a gente resolver a integral dupla daquele jeito que sabemos, começando pela integral “de dentro”.

    Vamos lá!

    Passo 2

    Temos então que encontrar as derivadas parciais f x e f y . Temos que:

    z = 4 - x 2

    Com isso, temos:

  • f x :
  • f x , y = 4 - x 2 = 4 - x 2 1 2    

    Derivando em relação a x , temos:

    f x = - x 4 - x 2 - 1 / 2

  • f y :

f x , y = 4 - x 2 = 4 - x 2 1 2    

Como não temos nenhum termo que depende de y e quando estamos derivando em y , x é constate, a derivada será zero:

f y = 0

Sendo assim, a área da superfície pode ser escrita como:

∬ D f x x , y 2 + f y x , y 2 + 1 d A = ∬ - x 4 - x 2 - 1 2 2 + 0 2 + 1 d A

Simplificando as operações dentro da raiz:

∬ D x 2 4 - x 2 + 1   d A

Passo 2

Nossa região D   no plano x y é descrita por:

quadrado com vértices 0,0 ,   1,0 ,   0,1 e ( 1,1 )

Olhando no eixo x , temos que seu valor vai de 0 a 1 e y também vai de 0 a 1, então:

0 ≤ x ≤ 1

0 ≤ y ≤ 1

Aplicando na nossa integral:

∫ 0 1 ∫ 0 1 x 2 4 - x 2 + 1   d y d x

Podemos separar as duas integrais, com seus respectivos integrandos:

A S = ∫ 0 1 x 2 4 - x 2 + 1   d x ∫ 0 1 d y

Passo 3

Ufa! Agora que nossa integral está completa, é só a gente resolver cada uma!

A S = ∫ 0 1 x 2 4 - x 2 + 1   d x ∫ 0 1 d y

Resolvendo a x :

∫ 0 1 x 2 4 - x 2 + 1   d x

Somando os termos dentro da raiz:

∫ 0 1 x 2 4 - x 2 + 1   d x = ∫ 0 1 4 4 - x 2   d x

Simplificando por 4 nossa fração dentro da raiz:

∫ 0 1 4 4 - x 2   d x = ∫ 0 1 1 1 - x 2 2     d x    

Como:

∫ 1 a 2 - x 2   d x = a r c s e n x a + c

Então nossa integral será:

∫ 0 1 1 1 - x 2 2     d x   = 2 x 2   0 1

Então:

∫ 0 1 x 2 4 - x 2 + 1   d x ∫ 0 1 d y = 2 x 2   0 1 y 0 1

Aplicando os limites de integração:

∫ 0 1 x 2 4 - x 2 + 1   d x ∫ 0 1 d y = ( 2 . π 6 - 0 ) ( 1 )  

E, simplificando, temos:

A S = π 3

Resposta

A S = π 3

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