Enunciado

Encontre a área da superfície com precisão de quatro casas decimais expressado a área em termos de uma integral simples e usando uma calculadora para estimar a integral.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a parte da superfície z = 1 / ( 1 + x 2 + y 2 ) que fica acima do disco x 2 + y 2 ≤ 1 .

A figura a seguir esquematiza a região delimitada pela superfície e pelo disco:

Com a equação do disco, sabemos que a região de integração será delimitada por uma circunferência completa com raio variando de 0 a 1.

Passo 2

Com isso, temos:

z = f x , y = 1 + x 2 + y 2 - 1 → f x = - 2 x 1 + x 2 + y 2 - 2 ,   f y = - 2 y 1 + x 2 + y 2 - 2

Sendo assim, a área da superfície pode ser escrita como:

A S = ∬ - 2 x 1 + x 2 + y 2 - 2 2 + - 2 y 1 + x 2 + y 2 - 2 2 + 1   d A

Conforme visto no passo 1, a região fornecida no enunciado é delimitada por um círculo, sendo assim, podemos mudar o sistema de coordenadas cartesianas para polar, com x = r c o s   θ ,   y = r s e n   θ , fazendo isso, temos:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 4 r 2 cos 2 ⁡ θ 1 + r 2 - 4 + 4 r 2 sin 2 ⁡ θ 1 + r 2 - 4 + 1   r d r d θ

= ∫ 0 2 π ∫ 0 1 4 r 2 1 + r 2 - 4 + 1   r d r d θ = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 1 4 r 2 1 + r 2 - 4 + 1   r d r

Passo 3

Resolvendo a integral obtida no passo anterior temos:

2 θ ∫ 0 1 r 4 r 2 1 + r 2 - 4 + 1   d r

Nesse ponto, reduzimos a área da superfície pedida a uma integral simples, e calculando o valor dessa integral através de uma calculadora obtemos o seguinte resultado:

2 θ ∫ 0 1 r 4 r 2 1 + r 2 - 4 + 1   d r = 3,626

Resposta

A S = 3,626

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Use um sistema de computação algébrica para determinar o volume exato do sólido.Limitado por z = 1 - x 2 - y 2 e z = 0 .
Use um sistema de computação algébrica para determinar o volume exato do sólido.Abaixo da superfície z = x 2 y 4 + x y 2 e acima da região lmitada pelas curvas y = x 3 - x e y = x 2 + x para x ≥ 0 .
Determine o volume do sólido por subtração de dois volumes.O sólido limitado pelo paraboloide cilíndrico y = x 2 e pelos planos z = 3 y , z = 2 + y .
Determine o volume do sólido por subtração de dois volumes.O sólido sob o plano z = 3 , acima do plano z = y e entre os cilindros carabólicos y = x 2 e y = 1 - x 2 .
Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada. ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 1 - x - y d y d x