Enunciado

Calcule a integral de superfície.

∬ x y z d S ,   S é o cone com equações paramétricas x = u c o s v , y = u s e n v , z = v , 0 ≤ u ≤ 1,0 ≤ v ≤ π 2 .

Passo 1

Do enunciado nós temos r u , v = u c o s v i ⃑ + u s e n v j ⃑ + u k ⃑ e   0 ≤ u ≤ 1,0 ≤ v ≤ π 2 .

Escrever r assim é importante para calcularmos r u   e   r v

Passo 2

r v = ∂ x ∂ v i ⃑ + ∂ y ∂ v j ⃑ + ∂ z ∂ v k ⃑ = ∂ ( u c o s ( v ) ) ∂ v i ⃑ + ∂ ( u s e n ( v ) ) ∂ v j ⃑ + ∂ ( u ) ∂ v k ⃑ = - u . s e n v i ⃑ + u . c o s v j ⃑

r u = ∂ ( u c o s ( v ) ) ∂ u i ⃑ + ∂ ( u s e n ( v ) ) ∂ u j ⃑ + ∂ ( u ) ∂ u k ⃑ = cos ⁡ v i ⃑ + s e n v j ⃑ + k

r u × r v = cos ⁡ v i ⃑ + s e n v j ⃑ + k × - u . s e n v i ⃑ + u . c o s v j ⃑ = r u × r v =

= - u . cos ⁡ v i ⃑ - u s e n v k ⃑ + u k ⃑

r u × r v = - u . cos ⁡ v i ⃑ - u s e n v k ⃑ = u 2 cos 2 ⁡ v + u 2 s e n 2 v + u 2 = 2 u

Passo 3

Agora temos todas as informações necessárias para o cálculo da integral de superfície.

∬ x y z d S = substituindo as equações paramétricas

∬ ( u c o s v ( u s e n v ) u r u × r v d S = 2 ∬ u 4 s e n v   c o s ⁡ ( v ) d u d v

Como as variáveis de integração são independentes entre si podemos separá-las

= 2 ∫ 0 1 u 4 d u ∫ 0   π 2 s e n v   c o s v   d v = 2 1 5 u 5 0 1 1 2 s e n 2 v 0 π 2 = 2 1 5 1 2 = 1 10 2  

Resposta

∬ x y z d S = 1 10 2

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