Enunciado

Encontre as assíntotas horizontais e verticais

y = (x^3 - x)/(x^2 - 6 x + 5)

Passo 1

Olá, meu querido amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui nos é dada uma função e a partir disso iremos encontrar as assíntotas verticais e horizontais da função.

O livro diz que:

Então quando tomamos o limite ao infinito da função, e encontramos um valor L , este valor é a assíntota horizontal da função.

Para encontrar a assíntota vertical é muito simples, devemos pensar o seguinte “Para que ponto que quando x se aproxima a função ‘explode’ para infinito” (podem ser um ou mais pontos).

Passo 2

Para encontrar a assíntota horizontal, tomaremos o limite da função quando x -> +- oo

Primeiro iremos dividir os termos pela variável de maior grau, para que possarmos ‘cortar’ alguns termos ao fazer x -> oo :

underset(x -> +- oo)(lim) (x^3 - x)/(x^2 - 6 x + 5)

= underset(x -> +- oo)(lim) (x - ((1)/(x)))/(1 - ((6)/(x)) + ((5)/(x^2)))

= (oo - 0)/(1 - 0 + 0) = +- oo

Logo, y não tem assíntota horizontal :D

Passo 3

Para encontrar a assíntota vertical é muito simples, devemos pensar o seguinte “Para que ponto que quando x se aproxima a função ‘explode’ para infinito” (podem ser um ou mais pontos), ou seja,

underset(x -> a)(lim) (x^3 - x)/(x^2 - 6 x + 5) = +- oo

Porém, para facilitar, iremos “brincar” com a equação, para isso, seja

f (x) = (x^3 - x)/(x^2 - 6 x + 5)

= (x (x^2 - 1))/(x^2 - 6 x + 5)

= (x (x - 1) (x + 1))/(x^2 - 6 x + 5)

Agora encontrando as raízes da equação no denominador, podemos simplifica-lo, daí ficamos com

f (x) = (x (x - 1) (x + 1))/(x^2 - 6 x + 5)

= (x (x - 1) (x + 1))/((x - 5) (x - 1))

= (x (x + 1))/(x - 5)

Então reescrevemos o limite como sendo

underset(x -> a)(lim) (x (x + 1))/(x - 5) = +- oo

Para a = 5 a condição de assíntota é satisfeita, pois quando mais próximo de 0 é o denominador, maior será o numerador, ou seja, x - 5 -> 0 , ocorre quando x -> 5 , logo x = 5 é uma assíntota vertical.

Note que os valores de a são calculados igualando o denominador a 0 e encontrando os valores de x .

Passo 4

Mostraremos agora, uma comprovação gráfica do resultado obtido

Resposta

Não tem assíntotal horizontal

x = 5 é uma assíntota vertical

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Determine o limite de cada função b) quando QUOTE _x0001_
Determine o limite de cada função a) quando QUOTE _x0001_
Determine o limite QUOTE _x0001_
Determine o limite QUOTE _x0001_
Determine o limite underset(x - oo)(l i m) ((s e n ( 2 x ))/(x))