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Encontre as assíntotas horizontais e verticais

y = x 3 - x x 2 - 6 x + 5  

Passo 1

Para encontrar a assíntota horizontal, tomaremos o limite da função quando x → ± ∞

lim x → ± ∞ ⁡ x 3 - x x 2 - 6 x + 5 = lim x → ± ∞ ⁡ x - 1 x 1 - 6 x + 5 x 2 = ∞ - 0 1 - 0 + 0 = ± ∞

Logo, y não tem assíntota horizontal :D

Passo 2

Para encontrar a assíntota vertical é muito simples, devemos pensar o seguinte “Para que ponto que quando x se aproxima a função ‘explode’ para infinito” (podem ser um ou mais pontos), ou seja,

lim x → a ⁡ x 3 - x x 2 - 6 x + 5 = ± ∞

Porém, para facilitar, iremos “brincar” com a equação, para isso, seja

f x = x 3 - x x 2 - 6 x + 5 = x x 2 - 1 x 2 - 6 x + 5 = x x - 1 x + 1 x 2 - 6 x + 5

Agora encontrando as raízes da equação no denominador, podemos simplifica-lo, daí ficamos com

f x = x x - 1 x + 1 x 2 - 6 x + 5 = x x - 1 x + 1 x - 5 x - 1 = x x + 1 x - 5

Então reescrevemos o limite como sendo

lim x → a x x + 1 x - 5 ⁡ = ± ∞

Para a = 5 a condição de assíntota é satisfeita, pois quando mais próximo de 0 é o denominador, maior será o numerador, ou seja, x - 5 → 0 , ocorre quando x → 5 , logo x = 5 é uma assíntota vertical.

Note que os valores de a são calculados igualando o denominador a 0 e encontrando os valores de x .

Passo 3

Mostraremos agora, uma comprovação gráfica do resultado obtido

Resposta

Não tem assíntotal horizontal

x = 5   é uma assíntota vertical

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