Enunciado

Encontre o comprimento de arco exato das curvas acima dos intervalos dados.

24 x y = y 4 + 48   d e   y = 2   a t é   y = 4

Passo 1

E aí, tudo joia?

Vamos lá, é só a gente usar a fórmula:

L = ∫ a b 1 + f ' x 2   d x

Pra começar, a gente tem um intervalo de y , então a gente precisa de uma função de y . Vamos fazer isso então:

x = y 4 24 y + 48 24 y

x = y 3 24 + 2 y

Passo 2

Show! Agora a gente deriva:

x ' = 3 24 y 2 - 2 y 2

= 1 8 y 2 - 2 y 2

Elevando isso ao quadrado, temos:

1 8 y 2 - 2 y 2 2

= 1 64 y 4 - 1 2 + 4 y 4

Seguindo na fórmula, a gente precisa somar isso com 1. Vai ficar:

= 1 64 y 4 + 1 2 + 4 y 4

Show! Agora a gente joga isso dentro da raiz e dentro da integral...

Passo 3

L = ∫ 2 4 1 64 y 4 + 1 2 + 4 y 4   d y

Olha que legal, a gente pode fazer isso aqui ó:

L = ∫ 2 4 1 8 y 2 + 2 y 2 2   d y

Aí a gente corta o expoente com a raiz:

L = ∫ 2 4 1 8 y 2 + 2 y 2 d y

E agora é só integrar normalzinho:

L = 1 8 y 3 3 - 2 y 2 4

L = 1 8 64 3 - 2 4 - 1 8 8 3 + 2 2

L = 8 3 - 1 2 - 1 3 + 1  

L = 17 6

E prontinho! Chegamos ao comprimento da curva😉

Resposta

L = 17 6

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