Enunciado

Calcule o comprimento exato da curva polar:

r = 2 ( 1 + c o s theta )

Passo 1

A curva é dada por:

Passo 2

Para encontrarmos o comprimento desejado,devemos lembrar que o comprimento de arco é dado por:

L = int_a^b sqrt(r^2 + ((d r)/(d theta))^2) d theta

Temos que r = 2 ( 1 + c o s theta ) , logo:

(d r)/(d theta) = - 2 s e n theta

Passo 3

Aplicando na equação do arco, temos:

L = int_0^(2 pi) sqrt(( 2 ( 1 + c o s theta ) )^2 + ( - 2 s e n theta )^2) d theta = int_0^(2 pi) sqrt(4 + 8 c o s theta + 4 cos^2 theta + 4 s e n^2 theta) d theta

Simplificando o integrando temos:

int_0^(2 pi) sqrt(8 + 8 c o s theta) d theta = sqrt(8) int_0^(2 pi) sqrt(1 + c o s theta) d theta

Multiplicando o integrando por 2 * (1)/(2) , temos:

sqrt(8) int_0^(2 pi) sqrt(2 ((1)/(2)) ( 1 + c o s theta) ) d theta = sqrt(8) sqrt(2) int_0^(2 pi) sqrt(cos^2 (theta)/(2)) d theta

Passo 4

Para ignorar o módulo no integrando, podemos tomar o dobro da integral variando de 0 a pi , devido a simetria do problema. Temos portanto:

4 * 2 int_0^(pi) cos (theta)/(2) d theta = 8 (2 s e n (pi)/(2) - 2 s e n 0) = 16

Resposta

O arco possui comprimento de 16 .

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