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Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis - Capítulo 1.6 - Ex. 1a

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Encontre o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo das curvas de equações dadas durante o intervalo de tempo especificado em cada um dos casos abaixo:

a) σ t = e t cos ⁡ t , e t sen ⁡ t ,                           0 ≤ t ≤ 2

Passo 1

Aplicação diretaaassa de fórmula galera. O comprimento do caminho da partícula é dado por:

L C = ∫ a b σ ' t d t

Nesse caso, temos:

σ t = e t cos ⁡ t , e t sen ⁡ t ,                           0 ≤ t ≤ 2

σ ' t = e t cos ⁡ t - e t sen ⁡ t , e t sen ⁡ t + e t cos ⁡ t

σ ' t = e t cos ⁡ t - e t sen ⁡ t 2 + e t sen ⁡ t + e t cos ⁡ t 2

σ ' t = e t 2 cos ⁡ t - sen ⁡ t 2 + e t 2 sen ⁡ t + cos ⁡ t 2

σ ' t = e t 2 cos ⁡ t - sen ⁡ t 2 + sen ⁡ t + cos ⁡ t 2

σ ' t = e t cos ⁡ t - sen ⁡ t 2 + sen ⁡ t + cos ⁡ t 2

σ ' t = e t cos 2 ⁡ t - 2 sen ⁡ t cos ⁡ t + sen 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t + 2 sen ⁡ t cos ⁡ t + sen 2 ⁡ t

σ ' t = e t cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t

σ ' t = e t 1 + 1

σ ' t = e t 2

O comprimento do arco será então:

L C = ∫ 0 2 e t 2   d t

L C = e t 2 0 2 = e 2 2 - e 0 2 = 2   ∙ e 2 - 1

Resposta

L C = 2   ∙ e 2 - 1     u . c .

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