Enunciado

Encontre os vetores T , N e B no ponto indicado.

r (t) = (t^2 , (2)/(3) t^3 , t)

(1 , (2)/(3) , 1)

Passo 1

Para calcular T usaremos a fórmula

T (t) = (r ' (t))/(| r ' (t) |)

Calculando r ' (t)

r ' (t) = (2 t , 2 t^2 , 1)

E agora calculando o módulo

| r ' (t) | = sqrt((2 t)^2 + (2 t^2)^2 + 1^2)

= sqrt(4 t^2 + 4 t^4 + 1)

Dentro da raiz temos um quadrado perfeito

sqrt((2 t^2 + 1)^2) = 2 t^2 + 1

Então

T (t) = ((2 t , 2 t^2 , 1))/(2 t^2 + 1) = ((2 t)/(2 t^2 + 1) , (2 t^2)/(2 t^2 + 1) , (1)/(2 t^2 + 1))

Substituindo o ponto (1 , (2)/(3) , 1) , esse ponto acontece quando t = 1

T (1) = ((2)/(2 + 1) , (2)/(2 + 1) , (1)/(2 + 1)) = ((2)/(3) , (2)/(3) , (1)/(3))

Passo 2

Para calcular N usaremos a fórmula

N (t) = (T ' (t))/(| T ' (t) |)

Derivando T (t)

T ' (t) = ((2 (2 t^2 + 1) - 2 t (4 t))/((2 t^2 + 1)^2) , (4 t (2 t^2 + 1) - 2 t^2 (4 t))/((2 t^2 + 1)^2) , (- 4 t)/((2 t^2 + 1)^2))

T ' (t) = ((4 t^2 + 2 - 8 t^2)/((2 t^2 + 1)^2) , (8 t^3 + 4 t - 8 t^3)/((2 t^2 + 1)^2) , (- 4 t)/((2 t^2 + 1)^2))

T ' (t) = ((2 - 4 t^2)/((2 t^2 + 1)^2) , (4 t)/((2 t^2 + 1)^2) , (- 4 t)/((2 t^2 + 1)^2))

Calculando o módulo

| T ' (t) | = sqrt(((2 - 4 t^2)/((2 t^2 + 1)^2))^2 + ((4 t)/((2 t^2 + 1)^2))^2 + ((- 4 t)/((2 t^2 + 1)^2))^2)

Como todos os termos dentro da raiz tem o mesmo denominador, podemos tirá-lo da raiz

| T ' (t) | = (sqrt((2 - 4 t^2)^2 + (4 t)^2 + (- 4 t)^2))/((2 t^2 + 1)^2)

| T ' (t) | = (sqrt(4 - 16 t^2 + 16 t^4 + 16 t^2 + 16 t^2))/((2 t^2 + 1)^2)

| T ' (t) | = (sqrt(4 + 16 t^4 + 16 t^2))/((2 t^2 + 1)^2)

Dentro da raiz temos outro quadrado perfeito

| T ' (t) | = (sqrt((2 + 4 t^2)^2))/((2 t^2 + 1)^2) = (2 + 4 t^2)/((2 t^2 + 1)^2)

Substituindo na fórmula

N (t) = (((2 - 4 t^2)/((2 t^2 + 1)^2) , (4 t)/((2 t^2 + 1)^2) , (- 4 t)/((2 t^2 + 1)^2)))/((2 + 4 t^2)/((2 t^2 + 1)^2))

N (t) = ((2 - 4 t^2)/(2 + 4 t^2) , (4 t)/(2 + 4 t^2) , (- 4 t)/(2 + 4 t^2))

Quando t = 1

N (1) = ((2 - 4)/(2 + 4) , (4)/(2 + 4) , (- 4)/(2 + 4)) = (- (2)/(6) , (4)/(6) , - (4)/(6))

N (1) = (- (1)/(3) , (2)/(3) , - (2)/(3))

Passo 3

Para calcular B usaremos a fórmula

B (t) = T (t) xx N (t)

Como queremos quando t = 1

B (1) = T (1) xx N (1)

Então

B (1) = ((2)/(3) , (2)/(3) , (1)/(3)) xx (- (1)/(3) , (2)/(3) , - (2)/(3))

B (1) = |[[i,j,k],[(2)/(3),(2)/(3),(1)/(3)],[-,(1)/(3),(2)/(3),-,(2)/(3)]]| = i (- (4)/(9) - (2)/(9)) - j (- (4)/(9) + (1)/(9)) + k ((4)/(9) + (2)/(9))

B (1) = (- (6)/(9) , (3)/(9) , (6)/(9))

B (1) = (- (2)/(3) , (1)/(3) , (2)/(3))

Resposta

T = ((2)/(3) , (2)/(3) , (1)/(3))

N = (- (1)/(3) , (2)/(3) , - (2)/(3))

B = (- (2)/(3) , (1)/(3) , (2)/(3))

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