Enunciado

Encontre as coordenadas polares, 0 ≤ θ < 2 π e r ≤ 0 , dos pontos a seguir dados em coordenadas cartesianas.

3 ,   3

Passo 1

Olá pessoal, espero que todos estejam bem e animados para este exercício. Vamos lá!

As equações que relacionam as coordenadas polares e cartesianas são:

Porém, as equações não determinam somente θ quando x e y são dados, porque à medida que θ aumenta no intervalo 0 ≤ θ ≤ 2 π , cada valor de tg ⁡ θ ocorre duas vezes. Portanto, para transformar coordenadas cartesianas em coordenadas polares, não é apenas suficiente encontrar r e θ , devemos escolher θ de modo que o ponto r ,   θ esteja no quadrando correto.

Por exemplo, o ponto 1 ,   - 1 está no quarto quadrante, e através das equações descobrimos que θ = π / 4 , que pertence ao primeiro quadrante, então podemos escolher θ = - π / 4 ou θ = 7 π / 4 .

Sabendo disso, o enunciado nos fornece os seguintes dados:

x = 3 y = 3

Então primeiro conseguimos calcular o valor do raio:

r = x 2 + y 2

r = 3 2 + 3 2

r = 9 + 9 = 18 = 9 ∙ 2

r = ± 3 2

O enunciado nos diz que r ≤ 0 , logo:

r = - 3 2

Passo 2

Então conseguimos calcular θ :

cos ⁡ θ = x r

cos ⁡ θ = 3 - 3 2

θ = cos - 1 ⁡ - 1 2

θ = 3 π 4

O ponto 3 ,   3 está no primeiro quadrante e como r ≤ 0 , então θ não poderá ser este valor e será:

θ = 5 π 4

Logo nossa coordenada polar será - 3 2 , 5 π 4 .

Resposta

- 3 2 , 5 π 4

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