Enunciado

29. Encontre f

f^(' ') (t) = cos (t)

Passo 1

Antes de começarmos, vamos relembrar algumas coisas!

f (x) = s e n (x) -> F (x) = - c o s ( x ) + C

Além disso,

f (x) = c o s (x) -> F (x) = s e n ( x ) + C

Passo 2

Agora vamos achar a primitiva de f ' ' ' ( t ) , isto é, f ' ' ( t ) .

f^(' ') (t) = cos (t)

Do passo 1:

f^(' ') (t) = s e n (t) + C_1

Agora vamos achar primitiva de f ' ' ( t ) , isto é, f ' ( t ) .

f^(' ') (t) = s e n (t) + C_1

Logo,

f^' (t) = - cos (t) + C_1 * (t^(0 + 1))/(0 + 1) + C_2

Por fim, vamos achar a primitiva de f ' ( t ) :

f (t) = - s e n (t) + C_1 * (t^(1 + 1))/(1 + 1) + C_2 * (t^(0 + 1))/(0 + 1) + C_3

Portanto,

f (t) = - s e n (t) + (C_1 t^2)/(2) + C_2 t + C_3

Passo 3

Derivando para conferir!

f (t) = - s e n (t) + (C_1 t^2)/(2) + C_2 t + C_3

Então,

f^' (t) = - cos (t) + 2 * (C_1 t^(2 - 1))/(2) + 1 * C_2 t^(1 - 1)

Assim,

f^' (t) = - cos (t) + C_1 t + C_2

Derivando novamente, temos:

f^(' ') (t) = - (- s e n (t)) + C_1

Portanto,

f^(' ') (t) = s e n (t) + C_1

Por fim:

f^(' ' ') (t) = cos (t)

Opa, deu igual a nossa relação inicial. Então estamos certos!!

Resposta

f (t) = - s e n (t) + (C_1 t^2)/(2) + C_2 t + C_3

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