Enunciado

19. Encontre a primitiva mais geral da função. ( Verifique sua resposta derivando.)

f x = 2 x + 4 sinh ⁡ x

Passo 1

Bom galera, nessa questão estamos interessados em encontrar a primitiva da função f . Para isso, iremos utilizar a seguinte tabela de primitivas presente na seção 4.9 .

Passo 2

Primeiro de tudo, vamos fazer o seguinte, bora separar essa função em duas partes e encontrar as primitivas separadamente, saca só, para 2 x temos que a primitiva será:

2 x ln ⁡ 2  

Show de bolinhas, agora para função hiperbólica, temos 4 sinh ⁡ x , onde a primitiva é dada por:

4 cosh ⁡ x

Juntando tudo, descobrimos que a primitiva de f ( x ) , é dada como:

F x = 2 x ln ⁡ 2   + 4 cosh ⁡ x + C

Passo 3

Iradoso né, agora temos a primitiva, podemos conferir o resultado derivando essa função, logo:

F x = 2 x ln ⁡ 2   + 4 cosh ⁡ x + C

F ' x = 2 x ln ⁡ 2 ln ⁡ 2 + 4 sinh ⁡ x + C = 2 x + 4 sinh ⁡ x

F ' x = f x

E voilá, temos que a função F x é de fato a nossa primitiva.

Resposta

F x = 2 x ln ⁡ 2   + 4 cosh ⁡ x + C

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n) ∫ s e nx 2 d x
g) ∫ (x 2 +s e nx )d x
f) ∫ ( e 2 x + e - 2 x )d x
5- Seja y = f (x), x ϵ R, derivável até a segunda ordem e tal que, para todo x, f´´(x) + f(x) = 0. Seja g dada por g(x) = f´(x) sen x – f(x) cos x. Prove que g é constante.
6- Seja f: R → R derivável até segunda ordem e tal que para todo x ,f ´ ´ x + f x = 0 . Prove que existe uma constante A tal que f x -Ac o s x s e nx ' =0 Para todo x em ( 0 ,π ) . Conclua que existe