Encontre y' e y^('')

48) y = cos²(x)

Passo 1

Falaee, belezinha?? Bom... a questão quer que derivemos a seguinte função:

y = cos ²   ⁡ ( x )

Perceba que aqui podemos interpretar como uma função dentro de outra... veja que a gente pode fazer da seguinte forma:

y = u 2

Onde

u = cos ⁡ x

Certinho até aí??

Nesse sentido, para derivar nós precisamos observar que existe uma função dentro da outra.

E o que fazemos quando isso acontece?

Usamos a Regra da Cadeia! Que é dada da seguinte forma:

d y d x = d y d u . d u d x

Já sabemos como achar a derivada, então vamos achar cada derivada separadamente.

Depois que calcularmos a derivada, a questão pede para derivarmos novamente para encontrar a segunda derivada.

Passo 2

Para podermos aplicar a Regra da Cadeia, vamos começar pela derivada d u d x .

Então vamos derivar u com relação à x :

d u d x = - s e n   ( x )

Agora vamos derivar y em função de u para achar d y d u :

d y d u = 2 u

Agora aplicando da Regra da Cadeia, temos:

d y d x = - 2 u . s e n   ( x )

Substituindo u:

d y d x = - 2 . cos ⁡ ( x ) . s e n   ( x )

Sendo assim:

y ' = - 2 . cos ⁡ ( x ) . s e n   ( x )

Passo 3

Agora temos a derivada primeira, e devemos derivá-la para obter a segunda.

Aqui temos uma multiplicação, então:

f x = - 2 cos ⁡ ( x )

g x = s e n   ( x )

Derivando:

f ' x = 2 s e n   ( x )

g ' x = cos ⁡ ( x )

Passo 4

Para realizar a derivada da multiplicação, temos que utilizar a Regra do Produto.

Seja u e v duas funções deriváveis, então a derivada do produto entre essas duas funções é dada por:

u * v ' = u v ' + u ' v

Aplicando a Regra do Produto:

y ' ' = - 2 cos ⁡ x . cos ⁡ x + 2 s e n   x . s e n   ( x )

Reorganizando:

y ' ' = - 2 cos 2 ⁡ x + 2 s e n ²   x

Resposta

y ' = - 2 . cos ⁡ ( x ) . s e n   ( x )

y ' ' = - 2 cos 2 ⁡ x + 2 s e n ²   x

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