Encontre a derivada da função

36) y = raiz(1 + x \* e^(-2x))

Passo 1

Muito bem, para derivar nós precisamos observar que existe uma função dentro da outra. E o que fazemos quando isso acontece?

Usamos a Regra da Cadeia! Para começar vamos chamar:

u = 1 + x e - 2 x

Então:

y = u

Muito bem, já achamos u e y, em função de u. Agora precisamos achar d y d x , mas como?

Bem fácil:

d y d x = d y d u . d u d x

Já sabemos como achar a derivada, então vamos achar cada derivada separadamente.

Passo 2

Vamos começar por d u d x . Então vamos derivar u com relação à x, mas fiquem atentos aqui nós temos uma multiplicação.

Nestes casos usamos a regra do produto, faremos uma nova substituição aqui:

f x = x

g x = e - 2 x

A derivada de f é bem simples:

f ' x = 1

Agora para g nós temos uma função dentro de outra, bora usar de novo a regra da cadeia. Como vocês já estão feras eu vou fazer direto:

g ' x = - 2 e - 2 x

Agora conseguimos obter a derivada que precisamos:

d u d x = - 2 x e - 2 x + e - 2 x = e - 2 x ( 1 - 2 x )

Passo 3

Agora vamos derivar y em função de u para achar d y d u :

d y d u = 1 2 u - 1 2 = 1 2 u 1 2  

Substituindo u:

d y d u = 1 2 1 + x e - 2 x 1 2

Agora vamos colocar na derivada d y d x do passo 1:

d y d x = 1 2 1 + x e - 2 x 1 2 × e - 2 x ( 1 - 2 x )

Então:

d y d x = e - 2 x ( 1 - 2 x ) 2 1 + x e - 2 x 1 2

Resposta

y ' = e - 2 x ( 1 - 2 x ) 2 1 + x e - 2 x 1 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados