Enunciado

Encontre a derivada da função

36) y = sqrt(1 + x e^(- 2 x))

Passo 1

Muito bem, para derivar nós precisamos observar que existe uma função dentro da outra. E o que fazemos quando isso acontece?

Usamos a Regra da Cadeia! Para começar vamos chamar:

u = 1 + x e^(- 2 x)

Então:

y = sqrt(u)

Muito bem, já achamos u e y, em função de u. Agora precisamos achar (d y)/(d x) , mas como?

Bem fácil:

(d y)/(d x) = (d y)/(d u) . (d u)/(d x)

Já sabemos como achar a derivada, então vamos achar cada derivada separadamente.

Passo 2

Vamos começar por (d u)/(d x) . Então vamos derivar u com relação à x, mas fiquem atentos aqui nós temos uma multiplicação.

Nestes casos usamos a regra do produto, faremos uma nova substituição aqui:

f (x) = x

g (x) = e^(- 2 x)

A derivada de f é bem simples:

f^' (x) = 1

Agora para g nós temos uma função dentro de outra, bora usar de novo a regra da cadeia. Como vocês já estão feras eu vou fazer direto:

g^' (x) = - 2 e^(- 2 x)

Agora conseguimos obter a derivada que precisamos:

(d u)/(d x) = - 2 x e^(- 2 x) + e^(- 2 x) = e^(- 2 x) ( 1 - 2 x )

Passo 3

Agora vamos derivar y em função de u para achar (d y)/(d u) :

(d y)/(d u) = (1)/(2) u^(- (1)/(2)) = (1)/(2 u^((1)/(2)))

Substituindo u:

(d y)/(d u) = (1)/(2 (1 + x e^(- 2 x))^((1)/(2)))

Agora vamos colocar na derivada (d y)/(d x) do passo 1:

(d y)/(d x) = (1)/(2 (1 + x e^(- 2 x))^((1)/(2))) xx e^(- 2 x) ( 1 - 2 x )

Então:

(d y)/(d x) = (e^(- 2 x) ( 1 - 2 x ))/(2 (1 + x e^(- 2 x))^((1)/(2)))

Resposta

y^' = (e^(- 2 x) ( 1 - 2 x ))/(2 (1 + x e^(- 2 x))^((1)/(2)))

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre f^' ( x ) :13.f (x) = sqrt(4 + sqrt(3 x))
Encontre f^' ( x^2 ) se (d f ( x^2 ))/(d x) = x^2 .
Encontre f^' ( x ) :11.f (x) = (4)/((3 x^2 - 2 x + 1)^3)
Dado que f^' (x) = (x)/(x^2 + 1) e g (x) = sqrt(3 x - 1) , encontre F^' ( x ) se F (x) = f ( g (x) ) .
Lembre que uma função f é par se f - x = f ( x ) e ímpar se f - x = - f ( x ) para todo x no domínio de f . Supondo que f seja diferenciável, prove que: f ' será ímpar de f for par. f ' será par se f