Enunciado

Calcule a soma de Riemann para f x = x - 1 ,   - 6 ≤ x ≤ 4 , com cinco subintervalos, tomando os pontos amostrais como as extremidades à direita. Explique, com a ajuda de um diagrama, o que a soma de Riemann representa.

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... Quereoms calcular a soma de Riemann para a seguinte função:

f x = x - 1

Considerando o intervalo - 6 ≤ x ≤ 4 .

Também devemos considerar cinco subintervalos, tomando os pontos amostrais como as extremidades à direita.

Para isso, devemos saber que a soma de Riemann S para uma função f ( x ) em um intervalo fechado [ a , b ] com n subintervalos é expressa como:

S n = ∑ i = 1 n f x i Δ x i

Onde:

  • x i ​ é um ponto de amostra no i -ésimo subintervalo;
  • Δ x i é a largura do i -ésimo subintervalo Δ x i = b - a n .

Agora vamos aplicar!!

Passo 2

Vamos lá, vamos encontrar uma estimativa usando pontos finais direitos, como vamos usar 5 retângulos temos que n = 5 , assim:

R 5 = ∑ i = 1 5 f x i Δ x i

Temos que:

Δ x i = b - a n

Aqui nós sabemos que a e b são os limites de integração, assim:

Δ x i = b - a n = 4 - - 6 5 = 2

Vamos calcular o somatório:

R 5 = ∑ i = 1 5 f x i Δ x i

Como Δ x i é constante e independe de i

R 5 = Δ x i ∑ i = 1 5 f x i

R 5 = f x 1 + f x 2 + f x 3 + f x 4 + f x 5 + f x 6 ⋅ Δ x i ∴

R 5 = f - 4 + f - 2 + f 0 + f 2 + f 4 ⋅ 2 ∴

R 5 = - 5 + - 3 + - 1 + 1 + 3 ⋅ 2 ∴

R 5 = - 5 ⋅ 2 ∴

R 5 = - 10

Passo 3

A questão também pede para explicarmos, com a ajuda de um diagrama, o que a soma de Riemann representa.

Bom... temos o esboço do gráfico:

A soma de Riemann representa a soma das áreas dos dois retangulos acima do eixo x menos a soma das áreas dos três retângulos abaixo do eixo x , assim temos a área dos retângulos com respeito ao eixo x .

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

R 5 = - 10

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