Enunciado

Encontre f .

f^(' ') (t) = root(3)(t) - cos t , f (0) = 2 , f (1) = 2

Passo 1

Vamos lá, para achar f vamos ter que achar a antiderivada geral, sabemos que uma função F é chamada de antiderivada de f em um intervalo I se:

F^' (x) = f (x)

para todo x em I .

E se F é uma antiderivada de f nesse intervalo, então a antiderivada mais geral de f em I é:

F (x) + C

onde C é uma constante qualquer.

Pronto, então vamos achar a antiderivada, pra isso temos que achar uma função que derivando f nós encontramos F .

Para achar f vamos ter que achar a antiderivada duas vezes, vamos lá!

Passo 2

Primeiro vamos manipular a função:

f^(' ') (t) = root(3)(t) - cos t = t^((1)/(3)) - cos t

Vamos então agora calcular, para achar a antiderivada temos que a antiderivada da função geral x^n com n != 1 , de c f (x) , de sen x , da função constante e de cos x são da forma:

(x^(n + 1))/(n + 1)

c F (x)

- cos x

C x

sen x

Agora é só aplicar:

f^' (t) = (t^((1)/(3) + 1))/((1)/(3) + 1) - sen t + C = (t^((4)/(3)))/((4)/(3)) - sen t + C = (3 t^((4)/(3)))/(4) - sen t + C

Passo 3

Vamos agora vamos mais uma vez, dessa vez aplicando em f^' (t) , usando as fórmulas de antiderivada do passo 2 :

f (t) = (3)/(4) * (t^((4)/(3) + 1))/((4)/(3) + 1) - (- cos t) + C t + D = (3)/(4) * (t^((7)/(3)))/((7)/(3)) + cos t + C t + D = (3)/(4) * (3)/(7) * t^((7)/(3)) + cos t + C t + D

f (t) = (9)/(28) t^((7)/(3)) + cos t + C t + D

Passo 4

Por último é só vamos aplicar os pontos f (0) = 2 e f (1) = 2 para achar o valor de C e D , vamos lá:

f (t) = (9)/(28) t^((7)/(3)) + cos t + C t + D -> f (0) = (9)/(28) * 0^((7)/(3)) + cos 0 + C * 0 + D = 2 -> 1 + D = 2 ->

D = 1

f (t) = (9)/(28) t^((7)/(3)) + cos t + C t + D -> f (1) = (9)/(28) * 1^((7)/(3)) + cos 1 + C * 1 + D = 2 ->

(8)/(28) + cos 1 + C + D = 2 -> C = 2 - (8)/(28) - cos 1 - 1 = (28 - 8)/(28) - cos 1 = (27)/(28) - cos 1

Substituindo o valor de C e D na expressão:

f (t) = (9)/(28) t^((7)/(3)) + cos t + C t + D = (9)/(28) t^((7)/(3)) + cos t + ((27)/(28) - cos 1) t + 1

Pronto, achamos f !!

Resposta

f (t) = (9)/(28) t^((7)/(3)) + cos t + ((27)/(28) - cos 1) t + 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a primitiva mais geral de cada uma das seguintes funções. (Verifique sua resposta derivando.) f x = 7 x 2 5 + 8 x - 4 5
14. Encontre a primitiva mais geral de cada uma das seguintes funções. (Verifique sua resposta derivando.) f t = 3 t 4 - t 3 + 6 t 2 t 4
Encontre f f^(' ') (x) = x^6 - 4 x^4 + x + 1
Encontre f f ' ' t = e t + t - 4
34. Encontre f f ' x = t + 1 t 3 , t0f 1 = 6