Enunciado

As equações paramétricas da trajetória de um cometa são dadas em função do tempo por

x t = 200 cos ⁡ t e y t = 10 s e n t , 0 ≤ t ≤ 2 π ,

Onde 200 e 10 são medidas expressas em unidades astronômicas ( U . A . ) .

a Calcule a curvatura da órbita em um ponto qualquer da mesma.

b Encontre os pontos de máximo e mínimo para a curvatura.

Sugestão: O máximo (mínimo) da curvatura k é o mínimo (máximo) do raio de curvatura ρ = 1 k .

Passo 1

Agora, pra sabermos os pontos de máximo e mínimo da curvatura, precisamos aplicar a propriedade da derivada para descobrir os pontos críticos da trajetória.

Isso é feito igualando o resultado da derivada da equação de k a zero, e avaliando os pontos que fazem a equação ser nula.

Passo 2

Então, a partir da fórmula da curvatura da órbita:

k t = 2000 4 × 10 4 s e n 2 t + 100 cos 2 ⁡ t 3 2

Vemos que o método de derivação a ser usado é a regra do quociente dada por:

d d x f g = f ' g - f g ' g 2

Assim, derivando-a, temos:

k ' t = 0 - 2000 3 2 4 × 10 4 2 s e n t cos ⁡ t + 100 - 2 s e n t cos ⁡ t 4 × 10 4 s e n 2 t + 100 cos 2 ⁡ t 3 2 2

Ou seja:

k ' t = - 3000 8 × 10 4 s e n t cos ⁡ t - 200 s e n t cos ⁡ t 4 × 10 4 s e n 2 t + 100 cos 2 ⁡ t 3

Juntando os termos semelhante:

k ' t = - 3000 8 × 10 4 - 200 s e n t cos ⁡ t 4 × 10 4 s e n 2 t + 100 cos 2 ⁡ t 3

Passo 3

Enfim, igualando a derivada a zero:

k ' t = - 3000 8 × 10 4 - 200 s e n t cos ⁡ t 4 × 10 4 s e n 2 t + 100 cos 2 ⁡ t 3 = 0

Multiplicando ambos os lados pelo denominador, teremos:

- 3000 8 × 10 4 - 200 s e n t cos ⁡ t = 0 → - 2,394 × 10 8 s e n t cos ⁡ t = 0

Se isolarmos as funções trigonométricas:

s e n t cos ⁡ t = 0 - 2,394 × 10 8 = 0

Para que o resultado seja nulo, uma das funções trigonométricas deve ser zero. Assim, se:

s e n t = 0 → t = 0 t = π t = 2 π

E se:

cos ⁡ t = 0 → t = π 2 t = 3 π 2

Passo 4

Analisando os intervalos entre os pontos, conseguimos saber o comportamento da função em cada trecho. Para tanto, precisamos saber se o valor da primeira derivada é maior ou menor que zero em cada trecho. Se ela for positiva, a função é crescente; se ela for negativa, a função é decrescente.

Ainda, o ponto em que a função deixa de ser decrescente e passa a ser crescente é um ponto de mínimo valor; caso contrário, o ponto é de máximo valor.

A seguir está uma análise do valor da derivada em cada trecho entre os pontos:

Visto que os pontos t = 0 e t = 2 π são os maiores em suas proximidades, eles são pontos de máximo valor.

O ponto t = π também é de máximo valor, pelo fato de que a função passar de ser crescente para decrescente.

Já nos pontos t = π / 2 e t = 3 π / 2 , a função passa de decrescente para crescente e, por isso, são pontos de mínimo valor.

Logo, concluímos que os pontos de máximo da curvatura são:

t = 0 ,   t = 2 π → σ = 200 ,   0

E:

t = π → σ = - 200 ,   0

Enquanto os pontos de mínimo são:

t = π 2 → σ = 0 ,   10

E:

t = 3 π 2 → σ = 0 ,   - 10

Resposta

b Máximo: 200 ,   0 e - 200 ,   0

Mínimo: 0 ,   10 e 0 ,   - 10

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Encontre a curvatura e o raio de curvatura no ponto P dado. Trace um esboço da curva e o círculo de curvatura. dσ t = 2 e t ,2 e - t ; P = 2 ,2