Enunciado

Encontre f + g , f - g , f g , e f g e defina seus domínios:

f x = 3 - x

g x = x 2 - 1

Passo 1

Opa! Bora pra mais uma questão?!

O enunciado nos deu duas funções:

f x = 3 - x

g x = x 2 - 1

E queremos achar f + g , f - g , f g , e f g . Além disso, temos que achar o domínio de cada combinação, pensando nas restrições:

  • não pode haver zero no denominador;
  • não existe raiz quadrada (ou outra raiz par) de número negativo.

Bora lá!?

Passo 2

Certo, vamos primeiro somar as duas:

f + g =   3 - x + x 2 - 1

Aqui, não podemos unir os termos em uma mesma raiz porque é uma soma.

Para achar o domínio, sabemos que 3 - x tem que ser positivo, assim como x 2 - 1 , assim:

3 - x ≥ 0  

3 ≥ x

x ≤ 3

E

x 2 - 1 ≥ 0

x 2 ≥ 1

x ≥ 1

- 1 ≥   x ≥ 1

Para satisfazer as duas condições, vamos pensar nos intervalos assim:

Assim, os intervalos que funcionam para as duas condições são

x ≤ - 1

E

1 ≤ x ≤ 3

O domínio da função f + g é, então:

D o m = x ∈ R x ≤ - 1 ∪ 1 ≤ x ≤ 3

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Vamos agora subtrair as funções:

f - g =

3 - x - x 2 - 1

Novamente, não podemos unir as funções em uma mesma raiz, pois é uma subtração.

Para o domínio, as restrições continuam as mesmas (não pode haver número negativo em uma raiz quadrada):

3 - x ≥ 0

E

x 2 - 1 ≥ 0

Assim, o domínio também é o mesmo do passo 1:

D o m = x ∈ R x ≤ - 1 ∪ 1 ≤ x ≤ 3

Bacana, não é? 😉

Passo 4

Beleza, falta agora a multiplicação:

f g = 3 - x . x 2 - 1

f g = 3 - x x 2 - 1

f g = 3 x 2 - 3 - x 3 + x

Pensando agora no domínio, tudo o que está dentro da raiz deve ser positivo. Assim:

3 - x x 2 - 1 ≥ 0

Podemos reescrever:

- x - 3 x + 1 x - 1 ≥ 0

Deve haver dois sinais negativos e um positivo (função “final” positiva) ou os três sinais positivos. Vamos então separar cada parênteses e ver em quais intervalos a função é positiva (intervalo verde) ou negativa (intervalo roxo):

A x = - x - 3

B x = x + 1

C x = x - 1

O que queremos vale em

x ≤ - 1

(dois sinais negativos e um positivo)

E

1 ≤ x ≤ 3

(os três sinais positivos)

O domínio da função f g é, então:

D o m = x ∈ R x ≤ - 1 ∪ 1 ≤ x ≤ 3

Interessante, né? 😊

Passo 5

Por último, a função f g seria

f g =   3 - x x 2 - 1

f g = 3 - x x 2 - 1

Aqui, as restrições são: numerador positivo e denominador positivo (NÃO PODE SER ZERO).

Temos, então:

3 - x ≥ 0

E

x 2 - 1 > 0

O domínio, então, é parecido com aquele dos passos 2 e 3, com exceção de que o 1 e o -1 não estão inclusos ( d e n o m i n a d o r   ≠ 0 ):

D o m = x ∈ R x ≤ - 1 ∪ 1 ≤ x ≤ 3

E aí! o que achou? Responde Aí! 😎

Resposta

f + g =   3 - x + x 2 - 1

D o m = x ∈ R x ≤ - 1 ∪ 1 ≤ x ≤ 3

f - g = 3 - x - x 2 - 1

D o m = x ∈ R x ≤ - 1 ∪ 1 ≤ x ≤ 3

f g = 3 x 2 - 3 - x 3 + x

D o m = x ∈ R x ≤ - 1 ∪ 1 ≤ x ≤ 3

f g = 3 - x x 2 - 1

D o m = x ∈ R x ≤ - 1 ∪ 1 ≤ x ≤ 3

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