Enunciado

Encontre (d y)/(d x) por derivação implícita:

x^3 y^2 - 5 x^2 y + x = 1

Passo 1

Para começarmos, vamos derivar implicitamente por x ambos os lados da nossa igualdade:

(d)/(d x) [ x^3 y^2 - 5 x^2 y + x ] = (d)/(d x) [ 1 ]

Podemos abrir a soma e constantes para fora:

(d)/(d x) [x^3 y^2] - 5 * (d)/(d x) [x^2 y] + (d)/(d x) [ x ] = 0

(d)/(d x) [x^3 y^2] - 5 * (d)/(d x) [x^2 y] = - 1

Passo 2

Pela regra do produto:

((d)/(d x) [x^3] * y^2 + x^3 * (d)/(d x) [y^2]) - 5 ((d)/(d x) [x^2] * y + x^2 * (d)/(d x) [y]) = - 1

(3 x^2 * y^2 + x^3 * (d)/(d x) [y^2]) - 5 (2 x * y + x^2 * (d)/(d x) [y]) = - 1

Regra da cadeia;

(3 x^2 * y^2 + x^3 * (d [y^2])/(d y) * (d y)/(d x)) - 5 (2 x * y + x^2 * (d [y])/(d y) * (d y)/(d x)) = - 1

(3 x^2 * y^2 + x^3 * 2 y * (d y)/(d x)) - 5 (2 x * y + x^2 * (d y)/(d x)) = - 1

( 2 x^3 y - 5 x^2 ) * (d y)/(d x) = - 1 - 3 x^2 y^2 + 10 x y

Assim,

(d y)/(d x) = (- 1 - 3 x^2 y^2 + 10 x y)/(2 x^3 y - 5 x^2)

Resposta

(d y)/(d x) = (- 1 - 3 x^2 y^2 + 10 x y)/(2 x^3 y - 5 x^2)

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