Enunciado

Use um recurso gráfico para estimar o valor de f ' ( 1 ) usando um zoom no gráfico de f e, então, compare sua estimativa ao valor exato obtido por derivação.

f x = x 2 - 1 x 2 + 1

Passo 1

Cara, então vamos ao recurso gráfico né? O gráfico desse cara é:

E como vamos estimar a derivada dessa função no ponto x = 1 ?

Cara, a derivada de uma função em um ponto é justamente o coeficiente angular da reta tangente a essa função nesse ponto. E o coeficiente angular dessa reta é a tangente do ângulo que ela faz com o eixo x . Show?

Passo 2

Então, vamos traçar essa reta tangente à função no ponto x = 1 :

Como queremos uma estimativa, não precisamos fazer nada perfeito, ok? Então, só coloquei uma reta que passasse no ponto ( 1 ; 0 ) , que é o ponto que queremos da função, que é essa reta em azul.

Agora, olhando bem para ela, qual seria a tangente do seu ângulo com o eixo x ? Bom, para calcular a tangente podemos usar esse triângulo em azul que aparece aqui:

E agora podemos achar o valor da tangente daquele α ali, dividindo o cateto oposto pelo adjacente. Pelo gráfico, vemos que o cateto oposto tem tamanho 1 e o adjacente também:

Dessa forma, tan ⁡ α = 1 .

Como a derivada é o valor da tangente desse ângulo, pelas nossas estimativas, ela será 1, também!!

Passo 3

Agora, vamos conferir se isso está certo, usando derivação de fato:

Temos:

f x = x 2 - 1 x 2 + 1

E sua derivada será calculada pela regra do quociente:

f ' x = x 2 - 1 ' x 2 + 1 - ( x 2 - 1 ) ( x 2 + 1 ) ' x 2 + 1 2

f ' x = ( 2 x ) x 2 + 1 - ( x 2 - 1 ) ( 2 x ) x 2 + 1 2

f ' x = 2 x 3 + 2 x - 2 x 3 + 2 x x 2 + 1 2

f ' x = 4 x x 2 + 1 2

Passo 4

Agora, falta só achar o valor dessa derivada no ponto x = 1 :

Temos:

f ' x = 4 x x 2 + 1 2

Substituindo x por 1 :

f ' 1 = 4 × 1 1 2 + 1 2 = 4 4

f ' 1 = 1

Opa, casou com a nossa estimativa hein hehe. Tudo certo, então, a derivada da função no ponto x = 1 é mesmo igual a 1 .

Resposta

f ' 1 = 1

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