Enunciado

Encontre todos os valores de x nos quais a reta tangente à curva dada satisfaz a propriedade enunciada.

y = 1 x + 4 ; passa pela origem.

Passo 1

Beleza, vamos achar qual a reta que passa pelo ponto ( 0 , 0 ) , que é a origem, aqui. Para isso, vamos usar a seguinte equação da reta e perceber que, se ela é tangente à curva y = 1 x + 4 , a inclinação dela deve ser igual à derivada da curva no ponto em que elas se tocam:

y - y 0 = m ( x - x 0 )

Como queremos que passe pelo ponto ( 0 , 0 ) , o coeficiente linear dessa reta deve ser 0 :

y - y 0 = m ( x - x 0 )

y = m x - m x 0 + y 0

Onde m é a derivada da curva y = 1 x + 4 num ponto arbitrário ( x 0 , y 0 ) , que é o ponto onde a reta será tangente à curva, ou seja, onde a reta e a curva se tocam, logo:

y = 1 x + 4

Vamos derivar usando a regra do quociente:

y ' = 1 ' x + 4 - 1 x + 4 ' x + 4 2

y ' = 0 - 1 x + 4 2 = - 1 x + 4 2

No ponto x = x 0 :

y ' = - 1 x 0 + 4 2

Substituindo na equação da reta:

y = - 1 x 0 + 4 2 x - - 1 x 0 + 4 2 x 0 + y 0

Essa é a equação da reta que passa pelo ponto ( 0 , 0 ) e também é tangente à y = 1 x + 4 , em um ponto ( x 0 , y 0 ) , que iremos descobrir qual(is) é(são).

Passo 2

Como queremos que o coeficiente linear dessa reta seja 0 . Na reta:

y = - 1 x 0 + 4 2 x - - 1 x 0 + 4 2 x 0 + y 0

O coeficiente linear é a parte sem o x :

- - 1 x 0 + 4 2 x 0 + y 0

Igualando ele a 0 :

- - 1 x 0 + 4 2 x 0 + y 0 = 0

y 0 = - 1 x 0 + 4 2 x 0

y 0 = - x 0 x 0 + 4 2

Passo 3

Agora, queremos saber quando que:

y 0 = - x 0 x 0 + 4 2

Bom, esses y 0 e x 0 pertencem tanto à reta quanto à curva, quando x = x 0 → y = y 0 . Com isso, podemos voltar na curva e substituir esse ponto:

y = 1 x + 4

Quando x 0 :

y 0 = 1 x 0 + 4

Se a gente iguala os dois y 0 que achamos:

1 x 0 + 4 = - x 0 x 0 + 4 2

x 0 + 4 = - x 0

2 x 0 = - 4

x 0 = - 2

Com isso, finalmente chegamos ao ponto ao longo de y = 1 x + 4 em que a reta tangente à essa curva nesse ponto também passa em ( 0 , 0 ) . Ufa!

Resposta

- 2

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